Различия
Показаны различия между двумя версиями страницы.
Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия Следующая версия | Предыдущая версия | ||
лекции_1_курс_1_поток_осень_2025 [04.09.2025 15:55] gordienko |
лекции_1_курс_1_поток_осень_2025 [13.10.2025 00:45] (текущий) gordienko |
||
---|---|---|---|
Строка 2: | Строка 2: | ||
**Лектор [[: | **Лектор [[: | ||
- | 1) **04.09.2023.** Организационные вопросы. Матрицы, | + | **[[https:// |
+ | |||
+ | 1) **04.09.2025.** Организационные вопросы. Матрицы, | ||
__Упражнение.__ Вывести аксиомы 4-8 векторного пространства для матриц из свойств вещественных чисел. | __Упражнение.__ Вывести аксиомы 4-8 векторного пространства для матриц из свойств вещественных чисел. | ||
Строка 8: | Строка 10: | ||
Умножение матриц. Символ Кронекера. Единичная матрица. | Умножение матриц. Символ Кронекера. Единичная матрица. | ||
- | | + | |
Некоммутативность умножения матриц. | Некоммутативность умножения матриц. | ||
+ | |||
+ | 2) **08.09.2025.** Арифметическое векторное пространство $\mathbb R^n$. | ||
+ | |||
+ | __Упражнение.__ Из свойств вещественных чисел вывести, | ||
+ | |||
+ | $A(C+D)=AC+AD$, | ||
+ | |||
+ | $(A+B)C=AC+BC$, | ||
+ | |||
+ | $(\lambda A) C=A(\lambda C)=\lambda(AC)$, | ||
+ | |||
+ | где $A,B,C,D$ - матрицы соответствующих размеров, | ||
+ | |||
+ | Перестановочность символов конечного суммирования. Ассоциативность умножения матриц. Метод математической индукции (напоминание). Вывод обобщённой ассоциативности из обычной. Транспонирование матриц. | ||
+ | |||
+ | __Упражнение: | ||
+ | |||
+ | $(\alpha A)^T = \alpha A^T$, | ||
+ | |||
+ | $(AB)^T = B^T A^T$. | ||
+ | |||
+ | Метод Гаусса решения систем линейных уравнений (с.л.у.). Элементарные преобразования. Ступенчатый и улучшенный ступенчатый вид. Лидеры. Главные и свободные неизвестные. Экзотические уравнения. Наличие нетривиального решения у однородной с.л.у., у которой число уравнений больше числа неизвестных. | ||
+ | |||
+ | 3) **15.09.2025.** Равенство $0v=0$. | ||
+ | Линейная зависимость и её свойства. Основная лемма о линейной зависимости. Базис множества векторов. Существование базиса у множества, | ||
+ | |||
+ | 4) **18.09.2025.** Биекция. Обратное отображение. Композиция (=произведение, | ||
+ | |||
+ | __Упражнение.__ Докажите, | ||
+ | |||
+ | Линейные отображения. | ||
+ | |||
+ | __Упражнение.__ Отображение, | ||
+ | |||
+ | __Упражнение.__ Композиция линейных отображений линейна. | ||
+ | |||
+ | Изоморфизм любого $n$-мерного векторного пространства пространству $\mathbb R^n$. Строчный и столбцовый ранги матрицы. Их совпадение (1-я часть теоремы о ранге). Ранг матрицы. Вычисление ранга через приведение матрицы к ступенчатому виду. Метод Жордана-Гаусса. Фундаментальная система решений однородной с.л.у. Размерность пространства решений однородной с.л.у. Структура множества решений с.л.у. | ||
+ | |||
+ | 5) **22.09.2025.** Ранг транспонированной матрицы. Теорема Кронекера - Капелли. Оценка сверху на ранг произведения матриц. Умножение блочных матриц. Подстановки и перестановки. Группа. Примеры групп. Единственность нейтрального и обратных элементов. Циклы и транспозиции. | ||
+ | |||
+ | 6) **29.09.2025.** Разложение подстановки в произведение независимых циклов. Инверсии. Знак и чётность подстановки. Гомоморфизм групп. __Упражнение: | ||
+ | |||
+ | 7) **02.10.2025.** Знак обратной подстановки. Дизъюнктное объединение множеств. Разложение $S_n$ в дизъюнктное объединение $A_n$ и $\sigma A_n$, где $\sigma$ - произвольная нечётная подстановка. Определитель верхнетреугольной матрицы. Полилинейные и кососимметричные отображения (эквивалентные определения кососимметричности). Свойства определителя матрицы: | ||
+ | |||
+ | 8) ** 06.10.2025.** Определитель произведения матриц. | ||
+ | Определитель с углом нулей. | ||
+ | |||
+ | __Упражнение.__ Показать, | ||
+ | | ||
+ | C D \end{pmatrix}$$ | ||
+ | даже в случае квадратных блоков $A$, $B$, $C$, $D$ одинакового размера. | ||
+ | |||
+ | Подматрицы. Миноры и алгебраические дополнения. Разложение определителя по строке и по столбцу. Определитель Вандермонда. Минорный ранг. Теорема о ранге матрицы (2-я часть). Окаймление миноров. | ||
+ | |||
+ | __Упражнение.__ $(ab)^{-1} = b^{-1} a^{-1}$ для всех $a,b \in G$, где $G$ --- произвольная группа. | ||
+ | |||
+ | Обратная матрица. | ||
+ | |||
+ | **[[https:// | ||
__Литература.__ | __Литература.__ | ||
Строка 16: | Строка 77: | ||
- Кострикин А.И. Введение в алгебру. | - Кострикин А.И. Введение в алгебру. | ||
- Курош А.Г. Курс высшей алгебры. | - Курош А.Г. Курс высшей алгебры. | ||
- | - Винберг Э.Б. Курс алгебры. | + | - Винберг Э.Б. Курс алгебры. |
- Ван дер Варден Б.Л. Алгебра. (Очень хорошая и интересная книга, можно просто взять и читать, | - Ван дер Варден Б.Л. Алгебра. (Очень хорошая и интересная книга, можно просто взять и читать, |