Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- лекции_1_курс_1_поток_осень_2025 [02.10.2025 21:23]
gordienko
+++ лекции_1_курс_1_поток_осень_2025 [28.11.2025 14:39] (текущий)
gordienko
@@ Строка 1: / Строка 1: @@
 ==== Алгебра, 1 семестр, лекции, мехмат МГУ, 101-107 группы, осенний семестр 2025/2026 ====
 **Лектор [[:staff:gordienko|Гордиенко Алексей Сергеевич]]**
+**[[https://disk.yandex.ru/i/wy2qk_98eamZPA|Программа коллоквиума]]**
+**[[https://disk.yandex.ru/i/dX5pE2RQ926JJQ|Программа экзамена]]**
 ) **04.09.2025.** Организационные вопросы. Матрицы, сложение матриц и умножение на число. Декартово произведение множеств. Векторные пространства. Примеры: функции, направленные отрезки, матрицы фиксированного размера.
@@ Строка 8: / Строка 12: @@
 Умножение матриц. Символ Кронекера. Единичная матрица.
- __Упражнение.__ Пусть A - матрица размера m x n. Обозначим через E_n единичную матрицу размера n x n. Доказать, что A E_n = A.
+ __Упражнение.__ Пусть $A$ - матрица размера $m \times n$. Обозначим через $E_n$ единичную матрицу размера $n \times n$. Доказать, что $A E_n = A$.
 Некоммутативность умножения матриц.
-) **08.09.2025.** Арифметическое векторное пространство R^n.
+) **08.09.2025.** Арифметическое векторное пространство $\mathbb R^n$.
 __Упражнение.__ Из свойств вещественных чисел вывести, что
-A(C+D)=AC+AD,
+$A(C+D)=AC+AD$,
-(A+B)C=AC+BC,
+$(A+B)C=AC+BC$,
-(\lambda A) C=A(\lambda C)=\lambda(AC),
+$(\lambda A) C=A(\lambda C)=\lambda(AC)$,
-где A,B,C,D - матрицы соответствующих размеров, а \lambda - вещественное число.
+где $A,B,C,D$ - матрицы соответствующих размеров, а $\lambda$ - вещественное число.
 Перестановочность символов конечного суммирования. Ассоциативность умножения матриц. Метод математической индукции (напоминание). Вывод обобщённой ассоциативности из обычной. Транспонирование матриц.
-__Упражнение:__ (A+B)^T = A^T+B^T,
+__Упражнение:__ $(A+B)^T = A^T+B^T$,
-(\alpha A)^T = \alpha A^T,
+$(\alpha A)^T = \alpha A^T$,
-(AB)^T = B^T A^T.
+$(AB)^T = B^T A^T$.
 Метод Гаусса решения систем линейных уравнений (с.л.у.). Элементарные преобразования. Ступенчатый и улучшенный ступенчатый вид. Лидеры. Главные и свободные неизвестные. Экзотические уравнения. Наличие нетривиального решения у однородной с.л.у., у которой число уравнений больше числа неизвестных.
-) **15.09.2025.** Равенство 0v=0.
+) **15.09.2025.** Равенство $0v=0$.
-Линейная зависимость и её свойства. Основная лемма о линейной зависимости. Базис множества векторов. Существование базиса у множества, которое выражается через конечное число векторов. Подпространство. Линейная оболочка. Базис и размерность подпространства. Корректность определения. Стандартный базис в R^n. Матричные единицы - базис в пространстве матриц. Умножение матричных единиц.
+Линейная зависимость и её свойства. Основная лемма о линейной зависимости. Базис множества векторов. Существование базиса у множества, которое выражается через конечное число векторов. Подпространство. Линейная оболочка. Базис и размерность подпространства. Корректность определения. Стандартный базис в $\mathbb R^n$. Матричные единицы - базис в пространстве матриц. Умножение матричных единиц.
 ) **18.09.2025.** Биекция. Обратное отображение. Композиция (=произведение, суперпозиция) отображений.
@@ Строка 47: / Строка 51: @@
 __Упражнение.__ Композиция линейных отображений линейна.
-Изоморфизм любого n-мерного векторного пространства пространству R^n. Строчный и столбцовый ранги матрицы. Их совпадение (1-я часть теоремы о ранге). Ранг матрицы. Вычисление ранга через приведение матрицы к ступенчатому виду. Метод Жордана-Гаусса. Фундаментальная система решений однородной с.л.у. Размерность пространства решений однородной с.л.у. Структура множества решений с.л.у.
+Изоморфизм любого $n$-мерного векторного пространства пространству $\mathbb R^n$. Строчный и столбцовый ранги матрицы. Их совпадение (1-я часть теоремы о ранге). Ранг матрицы. Вычисление ранга через приведение матрицы к ступенчатому виду. Метод Жордана-Гаусса. Фундаментальная система решений однородной с.л.у. Размерность пространства решений однородной с.л.у. Структура множества решений с.л.у.
 ) **22.09.2025.** Ранг транспонированной матрицы. Теорема Кронекера - Капелли. Оценка сверху на ранг произведения матриц. Умножение блочных матриц. Подстановки и перестановки. Группа. Примеры групп. Единственность нейтрального и обратных элементов. Циклы и транспозиции.
-) **29.09.2025.** Разложение подстановки в произведение независимых циклов. Инверсии. Знак и чётность подстановки. Гомоморфизм групп. __Упражнение:__ показать, что гомоморфизм групп переводит нейтральный элемент в нейтральный, а обратные - в обратные. Знак произведения подстановок. Знак цикла. Знак подстановки, разложенной в произведение независимых циклов. Разложение подстановки в произведение транспозиций. Подгруппа. Ядро и образ гомоморфизма. __Упражнение:__ ядро и образ гомоморфизма - подгруппы. Знакопеременная группа A_n. Разложение чётной подстановки в произведение тройных циклов. Определитель матрицы. Определители матриц 1x1, 2x2, 3x3.
+) **29.09.2025.** Разложение подстановки в произведение независимых циклов. Инверсии. Знак и чётность подстановки. Гомоморфизм групп. __Упражнение:__ показать, что гомоморфизм групп переводит нейтральный элемент в нейтральный, а обратные - в обратные. Знак произведения подстановок. Знак цикла. Знак подстановки, разложенной в произведение независимых циклов. Разложение подстановки в произведение транспозиций. Подгруппа. Ядро и образ гомоморфизма. __Упражнение:__ ядро и образ гомоморфизма - подгруппы. Знакопеременная группа $A_n$. Разложение чётной подстановки в произведение тройных циклов. Определитель матрицы. Определители матриц $1\times 1$, $2\times 2$, $3\times 3$.
+) **02.10.2025.** Знак обратной подстановки. Дизъюнктное объединение множеств. Разложение $S_n$ в дизъюнктное объединение $A_n$ и $\sigma A_n$, где $\sigma$ - произвольная нечётная подстановка. Определитель верхнетреугольной матрицы. Полилинейные и кососимметричные отображения (эквивалентные определения кососимметричности). Свойства определителя матрицы: линейность, кососимметричность по строкам и столбцам, определитель транспонированной матрицы, определитель единичной матрицы.  Поведение определителя при элементарных преобразованиях. Элементарные матрицы и их определители. Определитель и линейная зависимость. Невырожденные матрицы. Аксиоматическое определение определителя.
+) ** 06.10.2025.** Определитель произведения матриц.
+Определитель с углом нулей.
+__Упражнение.__ Показать, что формула вычисления определителя $\det A \det D-\det B \det C$ в общем случае неверна для определителей блочных матриц
+ $$\begin{pmatrix} A B  \\
+ C D \end{pmatrix}$$
+даже в случае квадратных блоков $A$, $B$, $C$, $D$ одинакового размера.
+Подматрицы. Миноры и алгебраические дополнения. Разложение определителя по строке и по столбцу. Определитель Вандермонда. Минорный ранг. Теорема о ранге матрицы (2-я часть). Окаймление миноров.
+__Упражнение.__ $(ab)^{-1} = b^{-1} a^{-1}$ для всех $a,b \in G$, где $G$ --- произвольная группа.
+Обратная матрица.
+) **13.10.2025.** __Упражнение:__ $(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T$.
+Нахождение обратной матрицы при помощи элементарных преобразований. Группы $\mathrm{GL}_n(\mathbb R) $ и $\mathrm{SL}_n(\mathbb R)$. Фальшивое разложение определителя. Формула для элементов обратной матрицы. Правило Крамера. Отношение эквивалентности. Фактормножество. Смежные классы по подгруппе. Индекс подгруппы. Теорема Лагранжа.
+) **16.10.2025.**  Подгруппы, порождённые подмножествами. Циклические группы. Порядок элемента группы. Группа вычетов по модулю n.  Подгруппы циклических групп.
+__Упражнение:__ найти все порождающие в группах $\mathbb Z$ и $\mathbb Z_n$.
+Группы простого порядка циклические. Кольца. Ассоциативные, коммутативные кольца, кольца с единицей. Примеры. Кольцо вычетов по модулю $n$. Кольцо квадратных матриц над ассоциативным кольцом с $1$.
+) **20.10.2025.**  Кольцо многочленов над коммутативным кольцом с единицей.
+__Упражнение.__ Вывести то, что $R[x]$ - коммутативное кольцо с единицей из того, что $R$ - коммутативное кольцо с единицей.
+Группа обратимых элементов ассоциативного кольца с единицей.
+__Упражнение.__ Вычислить группы обратимых элементов в кольцах $\mathbb Z$, $\mathbb Q$, $\mathbb R$, $\mathbb R[x]$.
+Делители нуля. Нильпотентные элементы. Тела. Поля. Кольца и поля вычетов. Малая теорема Ферма. Характеристика поля. Ненулевая характеристика поля всегда простая. Сказали, что все понятия и конструкции из линейной алгебры, введённые нами над вещественными числами: векторное пространство, линейная зависимость, базис, ранг матрицы, метод Гаусса, определитель - вводятся и работают над произвольным полем, за тем лишь исключением, что над полями характеристики 2 в аксиоматическом определении определителя вместо кососимметричности надо сразу требовать равенства нулю при совпадении двух строчек матрицы. Также нужно изменить теорему о числе решений системы линейных уравнений в зависимости от того, сколько элементов в поле. Алгебры над полем. Примеры.
+) **27.10.2025.** Гомоморфизмы и изоморфизмы колец и алгебр, в т.ч. с единицей. Пример: алгебра квадратных матриц $n\times n$ изоморфна алгебре линейных операторов на $n$-мерном векторном пространстве. Зачем нужны комплексные числа? Поле комплексных чисел как двумерная подалгебра с единицей в алгебре вещественных матриц $2\times 2$. Алгебраическая и тригонометрическая форма записи комплексного числа. Вещественная и мнимая части, модуль и аргумент комплексного числа. Формулы Муавра.
+Группа корней из единицы. Примитивные корни из единицы. Примитивные корни из 1 в поле комплексных чисел.
+Неравенство треугольника для комплексных чисел (3-мя способами: через 2 семестр; через школьную геометрию на плоскости; через косинусы и синусы, как у Куроша).
+) **30.10.2025.** Целостные кольца. Целостность кольца многочленов над целостным кольцом. Многочлены от нескольких переменных. Делимость. Ассоциированные элементы. Собственные делители. Деление многочленов в столбик. Схема Горнера.
+__Упражнение.__ Подстановка элемента коммутативного кольца $R$ с $1$ в многочлен задаёт гомоморфизм $R[x] \to R$ колец с $1$.
+Корни многочлена. Теорема Безу. Кратность корня. (Прим. для себя: в следующий раз об этом нужно сказать позже, после производной.) Связь между количеством корней и степенью многочлена. Функциональное равенство многочленов над бесконечным целостным кольцом влечёт равенство многочленов. То же для колец многочленов от нескольких переменных. Многочлен $x^2-1$ над кольцом $\mathbb Z_8$ имеет 4 различных корня. Интерполяционный многочлен Лагранжа.
+) **01.11.2025.** Связь интерполяционного многочлена с определителем Вандермонда. Алгебраически замкнутые поля. «Основная» теорема алгебры. (Пока без доказательства. Доказательство будет в конце семестра.) Неприводимые многочлены. Неприводимые элементы в целостном кольце. Неприводимые многочлены над $\mathbb R$ и над $\mathbb C$.
+__Упражнение.__ Доказать, что комплексное сопряжение - это гомоморфизм $\mathbb C \to \mathbb C$ алгебр с 1 над полем вещественных чисел.
+Наибольший общий делитель (НОД). Единственность НОД с точностью до обратимых множителей. Евклидовы кольца.
+) **10.11.2025.** Существование единицы в евклидовом кольце. Алгоритм Евклида. Существование $\text{НОД}(a,b)$ и его выражение через $a$ и $b$ в евклидовых кольцах. НОД в евклидовых кольцах. Факториальные кольца. Факториальность евклидовых колец. Производная многочлена и её свойства. (Доказали линейность.)
+) **13.11.2025.** Доказали правило Лейбница. Кратные корни. Поиск кратных корней. Вычисление всех производных многочлена в конкретной точке при помощи схемы Горнера. Формула Тейлора. Поле частных целостного кольца. Рациональные дроби.
+) **17.11.2025.** Простейшие дроби. Разложение произвольного элемента поля частных $Q(R)$ евклидова кольца $R$ в сумму элемента кольца $R$ и простейших дробей. Разложение правильной рациональной дроби в сумму простейших. Единственность разложения для случая, когда $R$ - кольцо многочленов над полем, и отсутствие единственности, когда $R$ - кольцо целых чисел. Симметрические многочлены. Элементарные симметрические многочлены. Лексикографическое упорядочение. Теорема о строении кольца симметрических многочленов. Алгебраическая независимость элементарных симметрических многочленов.
+) **24.11.2025.** Формулы Виета. Определитель матрицы с элементами из произвольного коммутативного кольца с 1 и его свойства.  Результант двух многочленов. Критерий равенства результанта нулю. Результант как функция корней. Дискриминант многочлена. Связь дискриминанта и результанта.
+) **27.11.2025.** Дискриминант многочлена второй степени.
+ Лемма Гаусса. Факториальность колец многочленов над факториальными кольцами.
+__Упражнение*__: результант неприводим как многочлен от $a_0$, …, $a_m$, $b_0$, …, $b_n$ над любым полем.
+__Упражнение*__: дискриминант неприводим как многочлен от $a_0$, …, $a_n$ над любым полем характеристики, отличной от $2$.
+Признак неприводимости Эйзенштейна.
+(Продолжение следует.)
+__Примечание.__ Упражнения со знаком * являются необязательными (хотя они могут быть и очень простыми). Прочие упражнения являются обязательными и входят в программу экзамена.
-) **02.10.2025.** Знак обратной подстановки. Дизъюнктное объединение множеств. Разложение S_n в дизъюнктное объединение A_n и \sigma A_n, где \sigma - произвольная нечётная подстановка. Определитель верхнетреугольной матрицы. Полилинейные и кососимметричные отображения (эквивалентные определения кососимметричности). Свойства определителя матрицы: линейность, кососимметричность по строкам и столбцам, определитель транспонированной матрицы, определитель единичной матрицы.  Поведение определителя при элементарных преобразованиях. Элементарные матрицы и их определители. Определитель и линейная зависимость. Невырожденные матрицы. Аксиоматическое определение определителя.
+**[[https://disk.yandex.ru/i/VIbaB9l8laLgxA|Лекции по алгебре, 1 семестр (в процессе написания)]]**
 __Литература.__
@@ Строка 59: / Строка 136: @@
   - Кострикин А.И. Введение в алгебру.
   - Курош А.Г. Курс высшей алгебры.
-  - Винберг Э.Б. Курс алгебры.
+  - Винберг Э.Б. Курс алгебры. (Книга может оказаться сложной для изучения в первой половине семестра, поскольку изложение линейной алгебры ведётся сразу над произвольным полем, а в нашем курсе поля появятся только в середине семестра.)
   - Ван дер Варден Б.Л. Алгебра. (Очень хорошая и интересная книга, можно просто взять и читать, не отрываясь, но терминология достаточно архаичная: например, факторкольцо называется кольцом классов вычетов.)