Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- лекции_1_курс_1_поток_осень_2025 [30.10.2025 11:35]
gordienko
+++ лекции_1_курс_1_поток_осень_2025 [13.01.2026 21:15] (текущий)
gordienko
@@ Строка 1: / Строка 1: @@
 ==== Алгебра, 1 семестр, лекции, мехмат МГУ, 101-107 группы, осенний семестр 2025/2026 ====
 **Лектор [[:staff:gordienko|Гордиенко Алексей Сергеевич]]**
+Консультации пройдут в следующие даты:
+) среда, **7 января 2026 года**, 20:00, **ZOOM** (ссылка для подключения будет выслана всем студентам потока на адреса @math.msu.ru за пару минут до начала);
+) четверг, **8 января 2026 года**, 15:00, ауд. **1208**;
+) воскресенье, **11 января 2026 года**, 20:00, **ZOOM** (ссылка для подключения будет выслана всем студентам 101 и 102 группы на адреса @math.msu.ru за пару минут до начала);
+) среда, **14 января 2026 года**, 15:00, <del>ауд. **1205**.</del> **ZOOM** (ссылка для подключения будет выслана всем студентам 101 группы на адреса @math.msu.ru за пару минут до начала).
+Напоминаю регламент:
+а) посещение/участие в консультациях не является обязательным;
+б) консультация - это не повторное чтение лекций (для этого у нас просто нет возможности), а объяснение конкретных непонятных вам мест из вашего конспекта и/или [[https://disk.yandex.ru/i/VIbaB9l8laLgxA|моих лекций]].
+Также свои консультации могут проводить преподаватели, которые вели у вас семинарские занятия. Время и место узнавайте у ваших преподавателей.
 **[[https://disk.yandex.ru/i/wy2qk_98eamZPA|Программа коллоквиума]]**
+**[[https://disk.yandex.ru/i/dX5pE2RQ926JJQ|Программа экзамена]]**
 ) **04.09.2025.** Организационные вопросы. Матрицы, сложение матриц и умножение на число. Декартово произведение множеств. Векторные пространства. Примеры: функции, направленные отрезки, матрицы фиксированного размера.
@@ Строка 89: / Строка 109: @@
 __Упражнение.__ Вычислить группы обратимых элементов в кольцах $\mathbb Z$, $\mathbb Q$, $\mathbb R$, $\mathbb R[x]$.
-Делители нуля. Нильпотентные элементы. Тела. Поля. Кольца и поля вычетов. Малая теорема Ферма. Характеристика поля. Ненулевая характеристика поля всегда простая. Сказали, что все понятия и конструкции из линейной алгебры, введённые нами над вещественными числами: векторное пространство, линейная зависимость, базис, ранг матрицы, метод Гаусса, определитель - вводятся и работают над произвольным полем, за тем лишь исключением, что над полями характеристики 2 в аксиоматическом определении определителя вместо кососимметричности надо сразу требовать равенства нулю при совпадении двух строчек матрицы. Алгебры над полем. Примеры.
+Делители нуля. Нильпотентные элементы. Тела. Поля. Кольца и поля вычетов. Малая теорема Ферма. Характеристика поля. Ненулевая характеристика поля всегда простая. Сказали, что все понятия и конструкции из линейной алгебры, введённые нами над вещественными числами: векторное пространство, линейная зависимость, базис, ранг матрицы, метод Гаусса, определитель - вводятся и работают над произвольным полем, за тем лишь исключением, что над полями характеристики 2 в аксиоматическом определении определителя вместо кососимметричности надо сразу требовать равенства нулю при совпадении двух строчек матрицы. Также нужно изменить теорему о числе решений системы линейных уравнений в зависимости от того, сколько элементов в поле. Алгебры над полем. Примеры.
-) **27.10.2025.** Гомоморфизмы и изоморфизмы колец и алгебр, в т.ч. с единицей. Зачем нужны комплексные числа? Поле комплексных чисел как двумерная подалгебра с единицей в алгебре вещественных матриц $2\times 2$. Алгебраическая и тригонометрическая форма записи комплексного числа. Вещественная и мнимая части, модуль и аргумент комплексного числа. Формулы Муавра.
+) **27.10.2025.** Гомоморфизмы и изоморфизмы колец и алгебр, в т.ч. с единицей. Пример: алгебра квадратных матриц $n\times n$ изоморфна алгебре линейных операторов на $n$-мерном векторном пространстве. Зачем нужны комплексные числа? Поле комплексных чисел как двумерная подалгебра с единицей в алгебре вещественных матриц $2\times 2$. Алгебраическая и тригонометрическая форма записи комплексного числа. Вещественная и мнимая части, модуль и аргумент комплексного числа. Формулы Муавра.
 Группа корней из единицы. Примитивные корни из единицы. Примитивные корни из 1 в поле комплексных чисел.
 Неравенство треугольника для комплексных чисел (3-мя способами: через 2 семестр; через школьную геометрию на плоскости; через косинусы и синусы, как у Куроша).
@@ Строка 99: / Строка 119: @@
 __Упражнение.__ Подстановка элемента коммутативного кольца $R$ с $1$ в многочлен задаёт гомоморфизм $R[x] \to R$ колец с $1$.
-Корни многочлена. Теорема Безу. Кратность корня. Связь между количеством корней и степенью многочлена. Функциональное равенство многочленов над бесконечным целостным кольцом влечёт равенство многочленов. То же для колец многочленов от нескольких переменных. Многочлен $x^2-1$ над кольцом $\mathbb Z_8$ имеет 4 различных корня. Интерполяционный многочлен Лагранжа.
+Корни многочлена. Теорема Безу. Кратность корня. (Прим. для себя: в следующий раз об этом нужно сказать позже, после производной.) Связь между количеством корней и степенью многочлена. Функциональное равенство многочленов над бесконечным целостным кольцом влечёт равенство многочленов. То же для колец многочленов от нескольких переменных. Многочлен $x^2-1$ над кольцом $\mathbb Z_8$ имеет 4 различных корня. Интерполяционный многочлен Лагранжа.
-**[[https://disk.yandex.ru/i/VIbaB9l8laLgxA|Лекции по алгебре, 1 семестр (в процессе написания)]]**
+) **01.11.2025.** Связь интерполяционного многочлена с определителем Вандермонда. Алгебраически замкнутые поля. «Основная» теорема алгебры. (Пока без доказательства. Доказательство будет в конце семестра.) Неприводимые многочлены. Неприводимые элементы в целостном кольце. Неприводимые многочлены над $\mathbb R$ и над $\mathbb C$.
+__Упражнение.__ Доказать, что комплексное сопряжение - это гомоморфизм $\mathbb C \to \mathbb C$ алгебр с 1 над полем вещественных чисел.
+Наибольший общий делитель (НОД). Единственность НОД с точностью до обратимых множителей. Евклидовы кольца.
+) **10.11.2025.** Существование единицы в евклидовом кольце. Алгоритм Евклида. Существование $\text{НОД}(a,b)$ и его выражение через $a$ и $b$ в евклидовых кольцах. НОД в евклидовых кольцах. Факториальные кольца. Факториальность евклидовых колец. Производная многочлена и её свойства. (Доказали линейность.)
+) **13.11.2025.** Доказали правило Лейбница. Кратные корни. Поиск кратных корней. Вычисление всех производных многочлена в конкретной точке при помощи схемы Горнера. Формула Тейлора. Поле частных целостного кольца. Рациональные дроби.
+) **17.11.2025.** Простейшие дроби. Разложение произвольного элемента поля частных $Q(R)$ евклидова кольца $R$ в сумму элемента кольца $R$ и простейших дробей. Разложение правильной рациональной дроби в сумму простейших. Единственность разложения для случая, когда $R$ - кольцо многочленов над полем, и отсутствие единственности, когда $R$ - кольцо целых чисел. Симметрические многочлены. Элементарные симметрические многочлены. Лексикографическое упорядочение. Теорема о строении кольца симметрических многочленов. Алгебраическая независимость элементарных симметрических многочленов.
+) **24.11.2025.** Формулы Виета. Определитель матрицы с элементами из произвольного коммутативного кольца с 1 и его свойства.  Результант двух многочленов. Критерий равенства результанта нулю. Результант как функция корней. Дискриминант многочлена. Связь дискриминанта и результанта.
+) **27.11.2025.** Дискриминант многочлена второй степени.
+ Лемма Гаусса. Факториальность колец многочленов над факториальными кольцами.
+__Упражнение*__: результант неприводим как многочлен от $a_0$, …, $a_m$, $b_0$, …, $b_n$ над любым полем.
+__Упражнение*__: дискриминант неприводим как многочлен от $a_0$, …, $a_n$ над любым полем характеристики, отличной от $2$.
+Признак неприводимости Эйзенштейна.
+) **01.12.2025.** Предел последовательности комплексных чисел. Теорема Больцано-Вейерштрасса в $\mathbb C$.  Предел и непрерывность функции комплексного переменного (ф.к.п.). Непрерывность многочлена. Непрерывность модуля непрерывной ф.к.п. Теоремы Вейерштрасса для вещественнозначной функции, непрерывной в замкнутом круге с центром в нуле. Лемма о возрастании модуля. Лемма Даламбера-Аргана (начали доказывать).
+) **08.12.2025.** Лемма Даламбера-Аргана (закончили доказывать). Доказательство «основной» теоремы алгебры. Теорема Декарта. Пример: $x^3 +3x^2-1$. Системы Штурма. Их существование.
+) **11.12.2025.** Теорема Штурма. Пример: $x^3 +3x^2-1$. Алгебры Ли.
+__Упражнение.__ Всякая ассоциативная алгебра образует алгебру Ли относительно коммутатора [x,y]=xy-yx.
+Дифференцирования. Дифференцирования кольца многочленов от нескольких переменных.
+) **15.12.2025.** Внутренние дифференцирования алгебры Ли. Центр алгебры Ли. Центр ассоциативного кольца. Левые, правые и двухсторонние идеалы. Нормальные подгруппы, факторгруппы. Теорема о гомоморфизме групп. Факторкольца.
+Тема, которой **не было**: формула Кардано.
+__Примечание.__ Упражнения со знаком * являются необязательными (хотя они могут быть и очень простыми). Прочие упражнения являются обязательными и входят в программу экзамена.
+**[[https://disk.yandex.ru/i/VIbaB9l8laLgxA|Лекции по алгебре, 1 семестр]]**
 __Литература.__
@@ Строка 109: / Строка 168: @@
   - Винберг Э.Б. Курс алгебры. (Книга может оказаться сложной для изучения в первой половине семестра, поскольку изложение линейной алгебры ведётся сразу над произвольным полем, а в нашем курсе поля появятся только в середине семестра.)
   - Ван дер Варден Б.Л. Алгебра. (Очень хорошая и интересная книга, можно просто взять и читать, не отрываясь, но терминология достаточно архаичная: например, факторкольцо называется кольцом классов вычетов.)
+__Задание на 2-й семестр:__
+. Прочитать во книге Кострикин А.И. "Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра" про эрмитовы (=унитарные, комплексные евклидовы) пространства.
+. Решить в сборнике задач по алгебре под ред. А.И. Кострикина задачу 40.8(а) про то, что любое семейство попарно коммутирующих линейных операторов на конечномерном векторном пространстве над алгебраически замкнутым полем обладает общим собственным вектором.
+. Можно решать задачи из [[:staff:gordienko_sem2|домашних заданий по линейной алгебре и геометрии]].