Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- лекции_1_курс_1_поток_осень_2026 [04.09.2026 18:07]
klyachko
+++ лекции_1_курс_1_поток_осень_2026 [12.10.2026 16:49] (текущий)
klyachko
@@ Строка 1: / Строка 1: @@
 ==== Осень 2026 года, мехмат, первый курс, первый поток, лекции по алгебре ====
 **[[http://halgebra.math.msu.su/staff/klyachko/|Клячко]]**
+== 12 октября ==
+Разложение перестановки в произведение независимых
+циклов (единственность оставил в качестве упражнения).
+Чётность цикла. Определитель:
+определение;
+основные свойства
+(аксиоматическое определение оставил в качестве
+упражнения со звёздочкой);
+поведение при элементарных преобразованиях
+и при транспонировании;
+способ вычисления (и определитель треугольной матрицы).
+Критерий равенства определителя нулю
+только сформулировал пока.
+== 5 октября ==
+Повторил про то, какие матрицы раскладываются в произведение
+нескольких элементарных.
+Перестановки:
+разложение в произведение
+нескольких транспозиций (с оценкой,
+неулучшаемость которой оставил в качестве упражнения);
+чётность и знак;
+поведение чётности при умножении на транспозицию
+и чётность произведения перестановок.
+Циклы (пока только сказал, что это).
+== 2 октября ==
+Элементарные преобразования строк и столбцов и умножение на элементарные матрицы.
+Ранг произведения --- нижняя и верхняя оценка.
+Обратная матрица:
+единственность,
+алгоритм нахождения,
+левая и правая обратимость,
+критерий обратимости на языке рангов.
+Невырожденные матрицы.
+Связь транспонированния и умножения.
+== 28 сентября ==
+Повторил всё про ранг и базис.
+Любое линейно независимое множество векторов можно дополнить до базиса (данного множества векторов).
+Двойственное утверждение: любое порождающее множество можно уменьшить до базимса --- оставил в качестве упражнения. Умножение матриц (пока без объяснения, откуда это берётся).
+Ассоциативность и билинейность умножения. Единичная матрица.
+Отсутствие коммутативности и делители нуля.
+СЛУ на языке умножения матриц. Элементарные преобразования и умножение на элементарные матрицы
+(не доказали пока).
+== 21 сентября ==
+Критерий определённости СЛУ.
+Множество решений ОСЛУ --- подпространство
+(обратное оставил в качестве упражнения со звёздочкой).
+Размерность пространства решений ОСЛУ
+и алгоритм нахождения ФСР.
+Связь между решениями СЛУ и ОСЛУ.
+== 18 сентября ==
+Повторил почти всю предыдущую лекцию.
+Основная лемма о линейной зависимости на языке рангов.
+К какому виду можно привести матрицу элементарными преобразованиями строк и столбцов?
+Теорема о ранге матрицы (полтеоремы --- без миноров).
+Теорема Кронекера--Капелли.
+Упражнение с восклицательным знаком: любое линейно независимое подмножество
+можно дополнить до базиса (данного множества векторов).
+Критерий определённости СЛУ только сформулировал пока.
+== 14 сентября ==
+Основная лемма о линейной зависимости.
+Линейная оболочка. Подпространства
+(эквивалентность общего определения и конкретных свойств оставил в качестве важного упражнения).
+Линейная оболочка. Ранг и базис множества векторов.
+Размерность (под)пространства.
+Равенство ${\rm rk} X=\dim\langle X\rangle$.
+Примеры.
+== 7 сентября ==
+Критерии совместности и определённости в терминах ступенчатого вида.
+Векторные пространства (над полем вещественных чисел).
+Примеры. Следствия из аксиом (некоторые оставил в качестве упражнения). Линейная зависимость.
+Эквивалентность л.з. и выразимости одного вектора через остальные. (Основной леммы пока не было.)
 == 4 сентября ==
@@ Строка 14: / Строка 105: @@
 когда их расширенные матрицы можно превратить друг в
 друга элементарными преобразованиями строк.
+(А то, что для несовместных такое неверно, поняли.)