Клячко

Разложение перестановки в произведение независимых циклов (единственность оставил в качестве упражнения). Чётность цикла. Определитель: определение; основные свойства (аксиоматическое определение оставил в качестве упражнения со звёздочкой); поведение при элементарных преобразованиях и при транспонировании; способ вычисления (и определитель треугольной матрицы). Критерий равенства определителя нулю только сформулировал пока.

Повторил про то, какие матрицы раскладываются в произведение нескольких элементарных. Перестановки: разложение в произведение нескольких транспозиций (с оценкой, неулучшаемость которой оставил в качестве упражнения); чётность и знак; поведение чётности при умножении на транспозицию и чётность произведения перестановок. Циклы (пока только сказал, что это).

Элементарные преобразования строк и столбцов и умножение на элементарные матрицы. Ранг произведения — нижняя и верхняя оценка. Обратная матрица: единственность, алгоритм нахождения, левая и правая обратимость, критерий обратимости на языке рангов. Невырожденные матрицы. Связь транспонированния и умножения.

Повторил всё про ранг и базис. Любое линейно независимое множество векторов можно дополнить до базиса (данного множества векторов). Двойственное утверждение: любое порождающее множество можно уменьшить до базимса — оставил в качестве упражнения. Умножение матриц (пока без объяснения, откуда это берётся). Ассоциативность и билинейность умножения. Единичная матрица. Отсутствие коммутативности и делители нуля. СЛУ на языке умножения матриц. Элементарные преобразования и умножение на элементарные матрицы (не доказали пока).

Критерий определённости СЛУ. Множество решений ОСЛУ — подпространство (обратное оставил в качестве упражнения со звёздочкой). Размерность пространства решений ОСЛУ и алгоритм нахождения ФСР. Связь между решениями СЛУ и ОСЛУ.

Повторил почти всю предыдущую лекцию. Основная лемма о линейной зависимости на языке рангов. К какому виду можно привести матрицу элементарными преобразованиями строк и столбцов? Теорема о ранге матрицы (полтеоремы — без миноров). Теорема Кронекера–Капелли. Упражнение с восклицательным знаком: любое линейно независимое подмножество можно дополнить до базиса (данного множества векторов). Критерий определённости СЛУ только сформулировал пока.

Основная лемма о линейной зависимости. Линейная оболочка. Подпространства (эквивалентность общего определения и конкретных свойств оставил в качестве важного упражнения). Линейная оболочка. Ранг и базис множества векторов. Размерность (под)пространства. Равенство ${\rm rk} X=\dim\langle X\rangle$. Примеры.

Критерии совместности и определённости в терминах ступенчатого вида. Векторные пространства (над полем вещественных чисел). Примеры. Следствия из аксиом (некоторые оставил в качестве упражнения). Линейная зависимость. Эквивалентность л.з. и выразимости одного вектора через остальные. (Основной леммы пока не было.)

Содержание курса (про учебники забыл сказать). Эквивалентные СЛУ. Что значит, решить СЛУ (главные и свободные неизвестные). Метод Гаусса. Каждую матрицу можно привести к улучшенному ступенчатому виду элементарными преобразованиями строк. Упражнение со звёздочкой: Совместные СЛУ эквивалентны тогда и только тогда, когда их расширенные матрицы можно превратить друг в друга элементарными преобразованиями строк. (А то, что для несовместных такое неверно, поняли.)