Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- лекции_1_курс_2_поток_весна_2024 [22.04.2024 15:30]
chubarov
+++ лекции_1_курс_2_поток_весна_2024 [08.04.2025 16:43] (текущий)
@@ Строка 1: / Строка 1: @@
 ===Линейная алгебра и геометрия, 1 курс, 2 поток, весна 2024===
 ==Лектор И.А. Чубаров==
+**Программа для экзамена**
+{{:вопросы_к_экзамену_по_лаиг_2024_и_а_чубаров.pdf|}}
+**Лекции 26, 27 апреля, а также 3, 6 мая будут онлайн в 13.15, 10 мая в связи с переносами лекция не состоится. 13 мая будет все еще отдаленно.**
+по ЗУМУ
+https://us05web.zoom.us/j/81629965224?pwd=yEyvMAUSTcTrerm02T7K91a2b0ju8V.1
+Идентификатор конференции: 816 2996 5224 Код доступа: 271828
 **Коллоквиум запланирован на занятиях с 1 по 8 апреля**
@@ Строка 97: / Строка 109: @@
 Переобозначение: e^i = f_i. {e^i, i=1,...,n} - базис V*, двойственный (биортогональный) к базису {e_i}. Разложение вектора по базису с участием двойственного базиса.
-==Лекция 5, 26.02.24==
+== Лекция 5, 26.02.24 ==
-==Лекция 6, 1.03.24==
+== Лекция 6, 1.03.24 ==
-==Лекция 7, 4.03.24==
+== Лекция 7, 4.03.24 ==
 **Гл2, $2. Действия с линейными отображениями (операторами)**
@@ Строка 109: / Строка 121: @@
 **$3. Инвариантные подпространства**
 Определение. Примеры. 1. Дифференцирование по х в R[x}. Инвариантные: многочлены ограниченных степеней. **Вопрос** Есть ли другие?  2. Проектирование прямой суммы двух подпространств U_1,U_2 на одно из слагаемых параллельно другому. Инваринатные: U_1,U_2, сумма любого подпространства из U_1 с любым из U_2.
@@ Строка 128: / Строка 142: @@
 **Лекция 8 состоялась** Краткое содержание.
 $4 главы 2. **Собственные векторы и собственные значения линейных операторов**
@@ Строка 137: / Строка 152: @@
 **Конспект**: {{:лаг-л8-8-03-24.pdf|}}
-==Лекция 9, 11 марта ==
+== Лекция 9, 11 марта ==
 Доказана теорема о диагонализируемости. Достаточное условие - наличие n различных собственных значений.
@@ Строка 155: / Строка 171: @@
 Теорема. Если все корни л_1,...,л_s характеристического многочлена принадлежат F, то пространство есть прямая сумма корневых подпространств, отвечающих всем собственным значениям. K(л_i)=Ker(ф-л_iE)^k_i, где k_i - кратность корня л_i. dimK(л_i)= k_i/.
 ==Лекция 11, 18 марта ==
@@ Строка 179: / Строка 196: @@
 Теорема о существовании одномерного или двумерного инвариантного подпространства для линейного оператора в конечномерном вещественном пространстве.
-==Лекция 13, 25 марта 2024==
+== Лекция 13, 25 марта 2024 ==
 **Глава III** Билинейные и квадратичные функции. Векторные пространства с формами.
@@ Строка 191: / Строка 209: @@
 Алгоритм Лагранжа (выделения квадратов) приведения к диагональному виду. К каноническому виду - последующая нормировка.
-==Лекция 14. 29 марта ==
+== Лекция 14. 29 марта ==
 Закон инерции (теорема единственности p и q) над R.
 **$3. Теорема Якоби. Знакоопределенные квадратичные формы над R. **
 **Теорема.** Если все главные миноры Δ_i (i=1,...,n) матрицы квадратичной формы отличны от 0, то существует базис (или невырожденная линейная замена X=CY), в котором форма имеет диагональный вид K(y) = Δ_1/Δ_0{y_1}^2+...+ Δ_n/Δ_{n-1}{y_n}^2, где Δ_0=1.
 Для доказательства выработан процесс ортогонализации относительно полярной к k(x) билинейной формы **(позднее он будет применен к ортогонализации базиса в евклидовом пространстве!)**//Курсивный шрифт//
 **Следствие из теоремы Якоби.** Положительный индекс инерции вещественной квадратичной формы равен числу сохранений знака, а отрицательный - числу перемен знака в последовательности главных миноров.
 Критерии положительной (отрицательной, неположительной, неотрицательной) определенности и неопределенности в **терминах индексов инерции.**//Курсивный шрифт//
 **Критерий Сильвестра** положительной (отрицательной) определенности с использованием Теоремы Якоби и канонического вида.
 **$4. Евклидовы пространства.**
 **$5. Ортогональное дополнение **
-==Лекция 15. 1 апреля==
-==Лекция 16. 5 апреля==
+== Лекция 15. 1 апреля ==
-==Лекция 17. 8 апреля==
-==Лекция 18. 12 апреля==
+== Лекция 16. 5 апреля ==
+== Лекция 17. 8 апреля ==
+== Лекция 18. 12 апреля ==
 Доказательство теоремы о свойствах ортогональных операторов.
 Каноническая матрица для ортогонального оператора.
 Теорема о существовании канонического базиса ортогонального оператора с единственностью канонической матрицы. Метод приведения к каноническому виду ортогональной матрицы 3 порядка.
 **Полярное разложение (матрицы) линейного оператора**
 **Теорема.** Любой невырожденный линейный оператор в евклидовом пространстве может быть единственным образом разложен в произведение ортогонального оператора и самосопряженного оператора с положительными собственными значениями.
 **Матричный вариант.** Любая невырожденная вещественная квадратная матрица А может быть единственным образом разложена в произведение: A = BC, где В - ортогональная матрица, С - симметрическая положительно определенная матрица.
 Дано доказательство матричного варианта. A^T = C^T B^T = C^{-1}B, A^T A = C^2 и т.д.
 Понятие **сингулярного разложения**, выведено из полярного разложения.
 **$9. Билинейные и квадратичные формы на евклидовом пространстве**
 Теорема о приведении квадратичной формы к главным осям. Теорема о паре квадратичных форм.
-==Лекция 19. 15 апреля==
+ == Лекция 19. 15 апреля ==
 **$10. Полуторалинейные  и эрмитово квадратичные функции(формы)**
-**$11. Унитарные пространства.
+**$11. Унитарные пространства.**
 == Лекция 20. 19 апреля ==
 **$12. Линейные операторы в унитарном пространстве**
-==Глава IV. Аффинные пространства==
+== Глава IV. Аффинные пространства ==
 **$1. Основные определения и свойства**
 Дано определение аффинного пространства с примером аффинизации векторного пространства.
-== Лекция 21. Продолжение аффинных пространств==
+== Лекция 21. 22 апреля. Продолжение аффинных пространств ==
 Продолжение $1. Повторены аксиомы аффинного пространства. Биекция между пространством точек и соответствующим векторным пространством.
@@ Строка 252: / Строка 300: @@
 Барицентрические комбинации точек. Барицентрические координаты точек.
 **$2. Аффинные плоскости (подпространства)**
 Определение. Задание аффинной плоскости (неоднородной) системой координат. Взаимное расположение двух плоскостей. Пересечение плоскостей пустое или плоскость.
 Понятие аффинной оболочки двух плоскостей. Сформулирована теорема о размерности аффинной оболочки двух плоскостей.
+ **Лекция 26 апреля и перенесенная с понедельника на 27 апреля пройдут в 13:15 по ЗУМУ**
+https://us05web.zoom.us/j/81629965224?pwd=yEyvMAUSTcTrerm02T7K91a2b0ju8V.1
+Идентификатор конференции: 816 2996 5224 Код доступа: 271828
+== Лекция 22. 26 апреля 2024 ==
+Окончание $2. Теорема о размерности аффинной оболочки двух аффинных плоскостей.
+**$3. Аффинные отображения**
+**$4. Аффинные преобразования** Теорема о разложении невырожденного аффинного преобразования в произведение параллельного переноса и преобразования с неподвижной точкой.
+Конспект лекции {{:лаг-л_26-04-24.pdf|}}
+== Лекция 23 - 27 апреля 2024 ==
+Конспект лекции (с наложением части предыдущего конспекта)
+{{:лаг-л_27-04-24.pdf|}}
+**Консультация 30 мая**
+{{:конс-31-05-24.pdf|}}
+== Лекция 24 - 3 мая 2024 ==
+**$6. Аффинно-квадратичные функции. Квадрики.**
+Конспект лекции
+{{:лаг-л_3-05-24.pdf|}}
+== Лекция 25 - 6 мая 2024 ==
+**Квадрики**
+Конспект лекции {{:лин-ал-лекция_6-05-24.pdf|}}
+Он будет дополнен теоремами о классификации квадрик в аффинном и евклидовом пространствах
+== Лекция 26 - 13 мая 2024 ==
+**Глава 5. Тензоры**
+$1. Основные определения и первоначальные свойства.
+Тензоры типа (p,q), линейные операции и произведение тензоров (тензорное произведение).
+== Лекция 27 - 17 мая 2024 ==
+Базис в пространстве тензоров типа (p,q). Изменение координат тензора при замене базиса. Инварианты.
+Отождествление тензоров малых валентностей с геометрическими объектами.
+== Лекция 27 - 17 мая 2024 ==
+$2. Свертка тензоров. Симметризация и альтернирование.
+ конспект (продолжение следует)
+{{:лин-ал-лекции_13-17-05-24-тензоры.pdf|}}
+== Лекция 28 - 20 мая 2024 ==
+частичный конспект  {{:лин-ал-лекции_17-20-05-24-тензоры-2.pdf|}}
+продолжение {{:лин-ал-лекци_13-17-20-05-24-тензоры-2.pdf|}}
+{{:лин-ал-лекци_13-17-20-05-24-тензоры-3.pdf|}}
+{{:лин-ал-лекци_13-17-20-05-24-тензоры-4.pdf|}}
+== Лекция 29 - 24 мая 2024 ==
+Тензоры на евклидовом пространстве. Канонический вид невырожденной кососимметрической билинейной формы, симплектическая группа. Коммутирующие операторы.
+В файле не только тензоры, но и названные выше темы.
+{{:лин-ал-лекци_13-17-20-05-24-тензоры-5.pdf|}}
+Материал к пункту 65 (для интересующихся)
+{{:photo_2024-06-08_22-57-10.jpg|}}
+{{:photo_2024-06-08_22-57-10_2_.jpg|}}
+{{:photo_2024-06-08_22-57-10_3_.jpg|}}