Кафедра высшей алгебры

Программа для экзамена (предварительная)Курсивный шрифт _экз_по_лаиг_2024_и_а_чубаров.pdf

Лекции 26, 27 апреля, а также 3, 6, 10 мая будут онлайн в 13.15 насчет 13 мая будет объявлено отдельно)

по ЗУМУ

https://us05web.zoom.us/j/81629965224?pwd=yEyvMAUSTcTrerm02T7K91a2b0ju8V.1

Идентификатор конференции: 816 2996 5224 Код доступа: 271828

Коллоквиум запланирован на занятиях с 1 по 8 апреля

Расписание: 108 группа - 4 апреля (четверг), 3 пара; 109 - 8 апреля (пн), 4 пара; 110 - 2 апреля (вт), 4 пара; 111 - 1 апреля (пн), 2 пара; 112 - 1 апреля (пн), 4 пара; 114 - 8 апреля (пн)- 2 пара; 115 - 4 апреля (чт.), 4 пара.

Программа коллоквиума.

Вопросы к коллоквиуму (по сравнению с предварительной версией, евклидовы пространства не включены)

Консультация состоится 31 марта в 19.00 по Московскому времени на зуме, см. ссылку ниже

по ЗУМУ

https://us05web.zoom.us/j/81629965224?pwd=yEyvMAUSTcTrerm02T7K91a2b0ju8V.1

Идентификатор конференции: 816 2996 5224 Код доступа: 271828

Лекции проходят по пятницам в ауд.П3 (2 ГК) и понедельникам в П4, с 13:15 до 14:50

Краткое содержание. (Во многом это повторение 1 семестра)

Аксиомы векторного пространства (ВП)(в отличие от 1 семестра - над произвольным полем F). Загадка: одна из аксиом является следствием других; определите (обоснованно), какая.

Экзотический пример: множество всех подмножеств данного множества с операцией симметрической разности как ВП над полем Z_2 (без проверки всех свойств).

Определение базиса и размерности. Матричная запись разложения по базису, операции с координатами.

Линейное отображение, изоморфизм. Теорема об изоморфизме конечномерных векторных пространств. (В частности, изоморфизм с пространством столбцов F^n.)

Матрица перехода C_{e –> e'} от старого базиса к новому, определение (матричное), ее свойства. Формула замены координат вектора. Алгоритм вычисления матрицы перехода.

Определение (юридическое - устно, сокращенное записал), примеры подмножеств, которые не являются подпространствами.

Упомянуты два основных способа задания подпространств: 1. Как линейной оболочки. 2. Системой линейных уравнений. Переход от 1 к 2 будет рассказан на 2-й лекции.

Алгоритм дополнения конечной линейно независимой системы векторов до базиса конечномерного ВП: составить матрицу из столбцов координат данных векторов, дописать к ней единичную матрицу, выделить базисные столбцы полученной расширенной матрицы, включая данные векторы.

Блочные матрицы, умножение блочной строки на блочный столбец. Переход от 2 к 1: алгоритм построения (стандартной) фундаментальной системы решений ОСЛУ. Фундаментальная матрица, ее запись по улучшенному ступенчатому виду матрицы системы (с отброшенными нулевыми строками) в блочном виде.

Переход от 1 к 2. Два способа. 1)способ. Данные векторы представить как фундаментальную матрицу искомой системы. Предварительно матрицу из строк данных векторов упростить до улучшенного ступенчатого вида, транспонировать - это будет стандартная фундаментальная матрица. А по ней записать матрицу системы (имеющую улучшенный ступенчатый вид). 2) способ. К матрице из столбцов координат данных векторов приписать столбец координат произвольного вектора из линейной оболочки, э.п.строк привести матрицу к ступенчатому виду. Комбинации неизвестных, продолжающие нулевые строки, приравнять к нулю.

Утв.1.а) Пересечение любого семейства подпространств - подпространство. б). Объединение даже двух может не быть подпространством.

Определение суммы конечного числа подпространств. Утв. 2. Сумма - подпространство. Формула для размерности суммы двух подпространств - доказана не до конца. Вопрос: можно ли размерность суммы трех подпространств вычислять также по формуле включений-исключений?

Окончание доказательства формулы Грассмана.

Алгоритм для поиска размерностей и базисов суммы и пересечения. Пусть в некотором базисе пространства V известны координаты базисных векторов a_1,…,a_{n_1} подпространства U_1 и b_1,…,b_{n_2} подпространства U_2.1) Составить из столбцов координат этих векторов матрицу, э.п. строк привести ее к улучшенному ступенчатому виду и тем самым выделить базис суммы, включая, скажем, базис первого подпространства и k векторов b_1,…,b_k второго подпространства, с точностью до нумерации. (n_1+k=m= dim(U_1+U_2)). Тогда размерность пересечения равна n_2 - k.2) Выразить векторы b_j (j=k+1,…,n_2) в виде линейной комбинации векторов a_1,…,a_{n_1} и b_1,…,b_k. Перенеся для каждого j линейную комбинацию b_1,…,b_k к вектору b_j, получим базис пересечения.

Определение прямой суммы конечного числа подпространств (сумма и единственность представления в виде суммы). Теорема 1. 4 равносильных условия для прямой суммы двух подпространств с док-вом. Теорема 1'. Для любого конечного числа подпространств: условие 2 для пересечения изменяется.

Пример: разложение пространства матриц порядка n (над R) в прямую сумму подпространств симметрических и кососимметрических матриц.

Лемма. Существование для любого подпространства в конечномерном пространстве прямого дополнения.

Определение факторпространства V/U. Сформулирована теорема о размерности факторпространства и факторизации прямой суммы по одному слагаемому.

Версия определения факторпространства как факторгруппы V/U по сложению, на которой еще определено умножение на элементы поля. Доказательство теоремы. 1. Если dim V конечна, то dim(V/U) = dim V - dim U. 2. (U\O+W)/U =~W.

Понятие коразмерности.

Внешняя прямая сумма пространств, сведение ее к прямой сумме подпространств.

Определение линейной функции. Утв. Множество V* линейных функций на V - векторное пространство.

Примеры. !. Значение функций в фиксированной точке. 2. В конечномерном V с заданным базисом, для v = x_1e_1+…+x_ne_n опр. f_i(v)= x_i - i-я координатная функция.

Теорема 1. Если dim V = n, то dim V*=n. А именно, базис образуют координатные функции из примера 2.

Переобозначение: e^i = f_i. {e^i, i=1,…,n} - базис V*, двойственный (биортогональный) к базису {e_i}. Разложение вектора по базису с участием двойственного базиса.

Гл2, $2. Действия с линейными отображениями (операторами) Пространство линейных отображений L(V,V'), его изоморфизм с пространством матриц M_{m,n}(F), где n=dimV, m=dimV'. Понятие линейной алгебры. Алгебра линейных операторов L(V), её изоморфизм с алгеброй квадратных матриц M_n(F), если n=dimV. Геометрическое доказательство неравенства для ранга произведения (со случаем равенства).

Аннулирующий многочлен линейного оператора (матрицы). Существование аннулирующего многочлена степени ⇐n^2, если dimV=n. Понятие минимального многочлена.

$3. Инвариантные подпространства

Определение. Примеры. 1. Дифференцирование по х в R[x}. Инвариантные: многочлены ограниченных степеней. Вопрос Есть ли другие? 2. Проектирование прямой суммы двух подпространств U_1,U_2 на одно из слагаемых параллельно другому. Инваринатные: U_1,U_2, сумма любого подпространства из U_1 с любым из U_2.

Ограничение оператора на инвариантное подпространство. Вид матрицы оператора при наличии нетривиального инвариантного подпространства и при наличии инвариантного дополнения. Т.1 Для линейного оператора инвариантными попространствами являются: (а) Kerф; (б) Imф; (в) любое подпространство, содержащее Imф; (г) Ker(ф^k);(д) Im(ф^k), k=1,2,… Т.2 Для любых инвариантных подпространств U_1,…,U_k их сумма и пересечение инвариантны. (Т.1(в) и Т.2 доказаны в начале лекции 8)

по ЗУМУ Тема: Алгебра Войти: Zoom Конференция https://us05web.zoom.us/j/81629965224?pwd=yEyvMAUSTcTrerm02T7K91a2b0ju8V.1

Идентификатор конференции: 816 2996 5224 Код доступа: 271828

По истечении 40 минут без перерыва подключаемся снова

Лекция 8 состоялась Краткое содержание.

$4 главы 2. Собственные векторы и собственные значения линейных операторов Определение собственного вектора и собственного значения. Определение собственного подпространства. Утв. Это Ker(Ф - лE). Пример: оператор производной в пространстве бесконечно дифференцируемых функций, нахождение всех собственных функций. Теорема о линейной независимости собственных векторов, отвечающих попарно различным собственным значениям. Вычисление собственных значений и собственных векторов с помощью матрицы оператора. Характеристические корни. Характеристический многочлен, его независимость от базиса.

$5. Диагонализируемость Определение - существование базиса, в котором матрица оператора диагональна. Наравенство между геометрической и алгебраической кратностями собственного значения. Сформулирована теорема о 4 равносильных условиях диагонализируемости. Конспект: -л8-8-03-24.pdf

Доказана теорема о диагонализируемости. Достаточное условие - наличие n различных собственных значений.

$6. Минимальный многочлен. Теорема Гамильтона-Кэли.

Некоторые утверждения о минимальном многочлене линейного оператора (матрицы).

Доказана теорема Гамильтона-Кэли над любым полем. Доказательство - матричное - в файле. _гамильтона-кэли.pdf

$7. Жорданова нормальная форма матрицы линейного оператора. Корневые подпространства.

Корневое подпространство К(л)Курсивный шрифт, отвечающее собственному значению л, это множество таких векторов v, для каждого из которых существует натуральное k такое, что (ф-лЕ)^k(v)=0.

Теорема. Если все корни л_1,…,л_s характеристического многочлена принадлежат F, то пространство есть прямая сумма корневых подпространств, отвечающих всем собственным значениям. K(л_i)=Ker(ф-л_iE)^k_i, где k_i - кратность корня л_i. dimK(л_i)= k_i/.

Окончание доказательства теоремы о корневых подпространствах.

Сведение существования жорданова базиса к случаю нильпотентного оператора (на корневом подпространстве).

$8. Жорданов базис для нильпотентного оператора.

Рассказан способ построения жорданова базиса путем построения цепочек последовательным присоединением векторов к собственным.

Окончание доказательства существования жорданова базиса для нильпотентного оператора (проверка, что общее количество векторов во всех цепочках равно размерности (корневого) подпространства.

Единственность жордановой формы.

Общий случай теоремы существования жордановой формы.

Критерий диагонализируемости в терминах минимального многочлена.

Некоторые применения жордановой формы матрицы: 1) к решению систем линейных уравнений; 2) к возведению матрицы в степень; 3) экспонента матрицы. Формула: det(exp(A)) = exp (trA) (доказать в качестве упражнения).

Теорема о существовании одномерного или двумерного инвариантного подпространства для линейного оператора в конечномерном вещественном пространстве.

Глава III Билинейные и квадратичные функции. Векторные пространства с формами. _и_квадратичные_функции.pdf $1. Билинейные функции и формы. Определение и примеры. Запись в координатах, билинейная форма. Изменение матрицы билинейной формы при замене базиса, ранг билинейной формы. Разложение билинейной формы на симметрическую и кососимметрическую (charF not 2). $2. Квадратичные функции (формы) Опр. Квадратичная функция k(x)= f(x,x)not=0, где f(x,y) - билинейная функция. Поляризация. Матрица квадратичной формы (с учетом симметричности).

Диагональный (над произвольным полем характеристики не 2) и канонический (нормальный) виды квадратичной формы (над R, C). Алгоритм Лагранжа (выделения квадратов) приведения к диагональному виду. К каноническому виду - последующая нормировка.

Закон инерции (теорема единственности p и q) над R. $3. Теорема Якоби. Знакоопределенные квадратичные формы над R. Теорема. Если все главные миноры Δ_i (i=1,…,n) матрицы квадратичной формы отличны от 0, то существует базис (или невырожденная линейная замена X=CY), в котором форма имеет диагональный вид K(y) = Δ_1/Δ_0{y_1}^2+…+ Δ_n/Δ_{n-1}{y_n}^2, где Δ_0=1.

Для доказательства выработан процесс ортогонализации относительно полярной к k(x) билинейной формы (позднее он будет применен к ортогонализации базиса в евклидовом пространстве!)Курсивный шрифт

Следствие из теоремы Якоби. Положительный индекс инерции вещественной квадратичной формы равен числу сохранений знака, а отрицательный - числу перемен знака в последовательности главных миноров.

Критерии положительной (отрицательной, неположительной, неотрицательной) определенности и неопределенности в терминах индексов инерции.Курсивный шрифт

Критерий Сильвестра положительной (отрицательной) определенности с использованием Теоремы Якоби и канонического вида.

$4. Евклидовы пространства.

$5. Ортогональное дополнение

Доказательство теоремы о свойствах ортогональных операторов.

Каноническая матрица для ортогонального оператора.

Теорема о существовании канонического базиса ортогонального оператора с единственностью канонической матрицы. Метод приведения к каноническому виду ортогональной матрицы 3 порядка.

Полярное разложение (матрицы) линейного оператора

Теорема. Любой невырожденный линейный оператор в евклидовом пространстве может быть единственным образом разложен в произведение ортогонального оператора и самосопряженного оператора с положительными собственными значениями.

Матричный вариант. Любая невырожденная вещественная квадратная матрица А может быть единственным образом разложена в произведение: A = BC, где В - ортогональная матрица, С - симметрическая положительно определенная матрица.

Дано доказательство матричного варианта. A^T = C^T B^T = C^{-1}B, A^T A = C^2 и т.д.

Понятие сингулярного разложения, выведено из полярного разложения.

$9. Билинейные и квадратичные формы на евклидовом пространстве Теорема о приведении квадратичной формы к главным осям. Теорема о паре квадратичных форм.

$10. Полуторалинейные и эрмитово квадратичные функции(формы)

$11. Унитарные пространства.

$12. Линейные операторы в унитарном пространстве

$1. Основные определения и свойства

Дано определение аффинного пространства с примером аффинизации векторного пространства.

Продолжение $1. Повторены аксиомы аффинного пространства. Биекция между пространством точек и соответствующим векторным пространством.

Аффинная система координат. Системы точек общего положения. Изменение координат точки при замене системы координат .

Барицентрические комбинации точек. Барицентрические координаты точек.

$2. Аффинные плоскости (подпространства)

Определение. Задание аффинной плоскости (неоднородной) системой координат. Взаимное расположение двух плоскостей. Пересечение плоскостей пустое или плоскость.

Понятие аффинной оболочки двух плоскостей. Сформулирована теорема о размерности аффинной оболочки двух плоскостей.

Лекция 26 апреля и перенесенная с понедельника на 27 апреля пройдут в 13:15 по ЗУМУ

https://us05web.zoom.us/j/81629965224?pwd=yEyvMAUSTcTrerm02T7K91a2b0ju8V.1

Идентификатор конференции: 816 2996 5224 Код доступа: 271828

Окончание $2. Теорема о размерности аффинной оболочки двух аффинных плоскостей.

$3. Аффинные отображения

$4. Аффинные преобразования Теорема о разложении невырожденного аффинного преобразования в произведение параллельного переноса и преобразования с неподвижной точкой.

Конспект лекции -л_26-04-24.pdf

Конспект лекции (с наложением части предыдущего конспекта) -л_27-04-24.pdf

$6. Аффинно-квадратичные функции. Квадрики.

Конспект лекции -л_3-05-24.pdf