Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- лекции_1_курс_2_поток_весна_2026 [09.02.2026 20:20]
kulikova создано
+++ лекции_1_курс_2_поток_весна_2026 [23.03.2026 22:16] (текущий)
kulikova
@@ Строка 1: / Строка 1: @@
-Лекции по линейной алгебре и геометрии, 1 курс, 2 поток, весна 2026
+**Лекции по линейной алгебре и геометрии, 1 курс, 2 поток, весна 2026
+**
-Лектор: Куликова О.В.
+**Лектор:** Куликова О.В.
-Лекция 1 (11 февраля)
+{{:28_lectures_02_06_20_.pdf| Конспект лекций (2020 год)}}
+----
+**Лекция 1** (9 февраля)
 Повторение (Векторные пространства. Подпространства. Линейная зависимость. Линейная оболочка. Конечномерные векторные пространства, базис и размерность.)
+**Лекция 2** (12 февраля)
+Матрица перехода от одного базиса к другому. Координаты. Изменение координат вектора при замене базиса. Изоморфизм векторных пространств.
+Сумма и пересечение подпространств. Прямая сумма подпространств.
+**Лекция 3** (16 февраля)
+Размерность суммы и пересечения подпространств.
+Линейные формы. Сопряженное пространство. Сопряженный базис. Канонический изоморфизм основного и двойного сопряженного пространств.
+**Лекция 4** (19 февраля)
+Связь между матрицами перехода. Всякое подпространство является множеством решений некоторой системы однородных линейных уравнений.
+Линейные отображения. Их матрицы.  Ядро и образ линейного отображения.
+**Лекция 5** (25 февраля)
+Теорема о связи размерности ядра и размерности образа.
+Инъективность и сюръективность линейного отображения.
+Изменение матрицы линейного отображения при переходе к другим базисам.
+Линейные операторы и их матрицы. Ранг и определитель линейного оператора.
+Определение алгебры над полем. Примеры. Определение изоморфизма алгебр. Алгебра линейных операторов. Изоморфизм алгебры матриц и алгебры линейных операторов.
+Нулевой и тождественный линейный оператор. Обратимый линейный оператор.
+**Лекция 6** (2 марта)
+Вид матрицы линейного оператора при наличии инвариантных подпространств.
+Собственные векторы и значения. Корректность определения характеристического многочлена. Линейная независимость собственных векторов, отвечающих различным собственным значениям. Собственные подпространства. Критерий существования базиса из собственных векторов линейного оператора.
+**Лекция 7** (5 марта)
+Инвариантные подпространства линейного оператора над полем комплексных чисел и над полем вещественных чисел. Существование базиса, в котором матрица линейного оператора конечномерного векторного пространства над алгебраически замкнутым полем треугольна. Многочлены от линейных операторов. Теорема Гамильтона-Кэли.
+Аннулирующие многочлены. Минимальный многочлен. Определение и примеры
+**Лекция 8** (12 марта)
+Минимальный многочлен и его свойства. Жордановы клетки и матрицы, их характеристические и минимальные многочлены.
+Формулировка теоремы о жнф.
+Линейный оператор над алгебраически замкнутым полем диагонализируем тогда и только тогда, когда его минимальный многочлен не имеет кратных корней.
+**Лекция 9** (16 марта)
+Существование жорданова базиса. Единственность жордановой нормальной формы.
+**Лекция 10** (19 марта)
+Подобные матрицы.
+Корневые подпространства.
+ Билинейные функции. Связь между матрицами билинейной функции в разных базисах. Ранг билинейной функции.
+Определение симметрической билинейной функции. Примеры. Матрицы симметрической билинейной функции.
+**Лекция 11** (23 марта)
+Теорема о том, что для произвольной симметрической билинейной функции существует базис пространства, в котором матрица функции диагональна.
+Квадратичные формы. Процедура поляризации. Приведение квадратичной формы к сумме квадратов. Канонический вид. Метод Лагранжа. Формула Якоби.
+**Лекция 12** (23 марта)
+<color #ed1c24>ПЛАН</color>
+Нормальный вид квадратичной формы над R и над C. Закон инерции. Положительно определенная квадратичная форма. Критерий Сильвестра.
+Евклидово пространство. Неравенство Коши-Буняковского. Матрица Грама. Ортогональный и ортонормированный базисы.