Лекции по линейной алгебре и геометрии, 1 курс, 2 поток, весна 2026
Лектор: Куликова О.В.
Вопросы для подготовки к коллоквиуму
Лекция 1 (9 февраля)
Повторение (Векторные пространства. Подпространства. Линейная зависимость. Линейная оболочка. Конечномерные векторные пространства, базис и размерность.)
Лекция 2 (12 февраля)
Матрица перехода от одного базиса к другому. Координаты. Изменение координат вектора при замене базиса. Изоморфизм векторных пространств.
Сумма и пересечение подпространств. Прямая сумма подпространств.
Лекция 3 (16 февраля)
Размерность суммы и пересечения подпространств.
Линейные формы. Сопряженное пространство. Сопряженный базис. Канонический изоморфизм основного и двойного сопряженного пространств.
Лекция 4 (19 февраля)
Связь между матрицами перехода. Всякое подпространство является множеством решений некоторой системы однородных линейных уравнений.
Линейные отображения. Их матрицы. Ядро и образ линейного отображения.
Лекция 5 (25 февраля)
Теорема о связи размерности ядра и размерности образа.
Инъективность и сюръективность линейного отображения.
Изменение матрицы линейного отображения при переходе к другим базисам.
Линейные операторы и их матрицы. Ранг и определитель линейного оператора. Определение алгебры над полем. Примеры. Определение изоморфизма алгебр. Алгебра линейных операторов. Изоморфизм алгебры матриц и алгебры линейных операторов. Нулевой и тождественный линейный оператор. Обратимый линейный оператор.
Лекция 6 (2 марта)
Вид матрицы линейного оператора при наличии инвариантных подпространств.
Собственные векторы и значения. Корректность определения характеристического многочлена. Линейная независимость собственных векторов, отвечающих различным собственным значениям. Собственные подпространства. Критерий существования базиса из собственных векторов линейного оператора.
Лекция 7 (5 марта)
Инвариантные подпространства линейного оператора над полем комплексных чисел и над полем вещественных чисел. Существование базиса, в котором матрица линейного оператора конечномерного векторного пространства над алгебраически замкнутым полем треугольна. Многочлены от линейных операторов. Теорема Гамильтона-Кэли.
Аннулирующие многочлены. Минимальный многочлен. Определение и примеры
Лекция 8 (12 марта)
Минимальный многочлен и его свойства. Жордановы клетки и матрицы, их характеристические и минимальные многочлены.
Формулировка теоремы о жнф. Линейный оператор над алгебраически замкнутым полем диагонализируем тогда и только тогда, когда его минимальный многочлен не имеет кратных корней.
Лекция 9 (16 марта)
Существование жорданова базиса. Единственность жордановой нормальной формы.
Лекция 10 (19 марта)
Подобные матрицы.
Корневые подпространства.
Билинейные функции. Связь между матрицами билинейной функции в разных базисах. Ранг билинейной функции.
Определение симметрической билинейной функции. Примеры. Матрицы симметрической билинейной функции.
Лекция 11 (23 марта)
Теорема о том, что для произвольной симметрической билинейной функции существует базис пространства, в котором матрица функции диагональна.
Квадратичные формы. Процедура поляризации. Приведение квадратичной формы к сумме квадратов. Канонический вид. Метод Лагранжа. Формула Якоби.
Лекция 12 (26 марта)
Нормальный вид квадратичной формы над R и над C. Закон инерции. Положительно определенная квадратичная форма. Критерий Сильвестра.
Определение евклидова пространства. Примеры. Длина. Косинус угла.
Лекция 13 (30 марта)
Евклидово пространство. Неравенство Коши-Буняковского. Матрица Грама. Ортогональный и ортонормированный базисы. Матрицы перехода от одного ортонормированного базиса к другому. Процесс ортогонализации Грама-Шмидта.
Лекции 14-15 (1 апреля)
Дополнительные лекции состоятся на 3-4 паре в среду 1 апреля в аудитории П3.
QR-разложение невырожденной матрицы.
Изоморфные евклидовы пространства.
Ортогальное дополнение. Угол и расстояние между вектором и подпространством.
Линейные функции в евклидовых пространствах. Связь между билинейными функциями и линейными операторами в евклидовом пространстве. Сопряженный линейный оператор.
Самосопряженный линейный оператор. Свойства. Приведение к главным осям.
Лекции 16 (2 апреля)
Одновременное приведение пары квадратичных форм к сумме квадратов.
Ортогональный линейный оператор. Свойства. Теорема о каноническом виде ортогонального оператора.
Полярное разложение.
Лекция 17 (6 апреля)
Полуторалинейные функции. Эрмитовы функции. Эрмитовы квадратичные функции.
Унитарные пространства. Длина вектора. Неравенство Грама-Шмидта и неравенство треугольника. Ортонормированный базис. Ортогональное дополнение. Расстояние от вектора до подпространства.
Лекция 18 (9 апреля)
Линейные операторы в унитарных пространствах.
Лекция 19 (13 апреля)
ПЛАН
Аффинные пространства. Изоморфизм. Изменение координат. Определение аффинного подпространства