Лекции по линейной алгебре и геометрии, 1 курс, 2 поток, весна 2026
Лектор: Куликова О.В.
Лекция 1 (9 февраля)
Повторение (Векторные пространства. Подпространства. Линейная зависимость. Линейная оболочка. Конечномерные векторные пространства, базис и размерность.)
Лекция 2 (12 февраля)
Матрица перехода от одного базиса к другому. Координаты. Изменение координат вектора при замене базиса. Изоморфизм векторных пространств.
Сумма и пересечение подпространств. Прямая сумма подпространств.
Лекция 3 (16 февраля)
Размерность суммы и пересечения подпространств.
Линейные формы. Сопряженное пространство. Сопряженный базис. Канонический изоморфизм основного и двойного сопряженного пространств.
Лекция 4 (19 февраля)
Связь между матрицами перехода. Всякое подпространство является множеством решений некоторой системы однородных линейных уравнений.
Линейные отображения. Их матрицы. Ядро и образ линейного отображения.
Лекция 5 (25 февраля)
Теорема о связи размерности ядра и размерности образа.
Инъективность и сюръективность линейного отображения.
Изменение матрицы линейного отображения при переходе к другим базисам.
Линейные операторы и их матрицы. Ранг и определитель линейного оператора. Определение алгебры над полем. Примеры. Определение изоморфизма алгебр. Алгебра линейных операторов. Изоморфизм алгебры матриц и алгебры линейных операторов. Нулевой и тождественный линейный оператор. Обратимый линейный оператор.
Лекция 6 (2 марта)
Вид матрицы линейного оператора при наличии инвариантных подпространств.
Собственные векторы и значения. Корректность определения характеристического многочлена. Линейная независимость собственных векторов, отвечающих различным собственным значениям. Собственные подпространства. Критерий существования базиса из собственных векторов линейного оператора.
Лекция 7 (5 марта)
Инвариантные подпространства линейного оператора над полем комплексных чисел и над полем вещественных чисел. Существование базиса, в котором матрица линейного оператора конечномерного векторного пространства над алгебраически замкнутым полем треугольна. Многочлены от линейных операторов. Теорема Гамильтона-Кэли.
Аннулирующие многочлены. Минимальный многочлен. Определение и примеры
Лекция 8 (12 марта)
Минимальный многочлен и его свойства. Жордановы клетки и матрицы, их характеристические и минимальные многочлены.
Формулировка теоремы о жнф. Линейный оператор над алгебраически замкнутым полем диагонализируем тогда и только тогда, когда его минимальный многочлен не имеет кратных корней.
Лекция 9 (16 марта)
Существование жорданова базиса. Единственность жордановой нормальной формы.
Лекция 10 (19 марта)
Подобные матрицы.
Корневые подпространства.
Билинейные функции. Связь между матрицами билинейной функции в разных базисах. Ранг билинейной функции.
Определение симметрической билинейной функции. Примеры. Матрицы симметрической билинейной функции.
Лекция 11 (23 марта)
ПЛАН
Теорема о том, что для произвольной симметрической билинейной функции существует базис пространства, в котором матрица функции диагональна.
Квадратичные формы. Процедура поляризации. Приведение квадратичной формы к сумме квадратов. Канонический вид. Метод Лагранжа. Формула Якоби.