Кафедра высшей алгебры

Курс завершен.

Лекция 24 (17.12.2016) Подгруппы циклических групп. Левые и правые смежные классы. Индекс подгруппы. Теорема Лагранжа и ее следствия.

Лекция 23 (13.12.2016) Порядок группы. Порядок общей линейной и специальной линейной группы над полем вычетов. Порядок элемента. Циклическая подгруппа. Циклическая группа. Классификация циклических групп с точностью до изоморфизма.

Лекция 22 (10.12.2016) Гомоморфизмы, изоморфизмы, эндоморфизмы и автоморфизмы групп. Ядро и образ гомоморфизма. Примеры. Группы симметрий и группы вращений. Группа диэдра. Группа кватернионов.

Лекция 21 (03.12.2016) Теорема Виета. Дискриминант многочлена. Результант двух многочленов. Связь результанта и дискриминанта. Вычисление результанта через определитель (без доказательства). Группы и подгруппы. Гомоморфизмы групп.

Лекция 20 (29.11.2016) Многочлены от многих переменных. Лексикографический порядок. Лемма о старшем члене. Симметрические многочлены. Примеры: элементарные симметрические многочлены и степенные суммы. Основная теорема о симметрических многочленах.

Лекция 19 (26.11.2016) Доказательство теоремы Декарта. Поле частных области целостности. Рациональные дроби, правильные дроби и простейшие дроби. Разложение правильной дроби в сумму простейших (без доказательства единственности).

Лекция 18 (22.11.2016) Связь неприводимости многочлена и наличия корня. Отделение кратных корней. Неприводимые многочлены над C и над R. Рациональные корни многочлена с целыми коэффициентами. Теорема Декарта.

Лекция 17 (17.11.2016) Основная теорема алгебры. Лемма о возрастании модуля. Лемма Даламбера. Доказательство основной теоремы алгебры. Алгебраически замкнутое поле.

Лекция 16 (12.11.2016) Евклидовы кольца. Алгоритм Евклида. НОД и его существование. Лемма о линейном представлении НОД. Взаимно простые элементы. Неприводимые и простые элементы. Неприводимые многочлены. Однозначность разложения на простые множители в евклидовых кольцах.

Лекция 15 (05.11.2016) Интерполяционный многочлен Лагранжа. Теорема о делении с остатком для многочленов. Теорема Безу. Кратность корня. Формальная производная многочлена. Формула Тейлора. Понижение кратности корня при дифференцировании. Число корней многочлена с учетом кратности не превосходит степени. Области целостности.

Лекция 14 (01.11.2016) Умножение комплексных чисел в тригонометрической форме. Формула Муавра. Извлечение корней. Корни из единицы. Первообразные корни. Кольцо многочленов от одной переменной над полем. Степень многочлена. Формальное и функциональное равенство многочленов. Задача интерполяции.

Лекция 13 (29.10.2016) Поля. Вычеты. Кольца вычетов, являющиеся полями. Характеристика поля. Поле комплексных чисел. Алгебраическая форма записи. Сопряжение. Комплексная плоскость и тригонометрическая форма записи.

Лекция 12 (22.10.2016) Множество с бинарной операцией, полугруппа, моноид, группа, абелева группа, мультипликативная и аддитивная форма записи, примеры групп. Кольца: обратимые элементы, делители нуля и нильпотенты. Примеры колец.

Лекция 11 (18.10.2016) Разложение определителя по строке и по столбцу. Фальшивое разложение. Присоединенная матрица. Формула для обратной матрицы. Определитель произведения матриц. Теорема Крамера и формулы Крамера. Теорема о ранге матрицы.

Лекция 10 (15.10.2016) Изменение определителя при элементарных преобразованиях. Невырожденность равносильна отличию определителя от нуля. Определитель как единственная кососимметрическая полилинейная нормированная функция. Определитель с углом нулей. Определитель Вандермонда. Миноры и алгебраические дополнения.

Лекция 9 (11.10.2016) Четность подстановки. Изменение четности при умножении на транспозицию. Число четных подстановок равно числу нечетных. Знак подстановки. Знак произведения. Четность обратной подстановки. Определение определителя формулой. Определитель верхнетреугольной матрицы. Свойства определителя: полилинейность, кососимметричность, неизменность при транспонировании.

Лекция 8 (08.10.2016) Ранг произведения матриц. Перестановки, их количество. Умножение подстановок. Ассоциативность. Единичная и обратная подстановки. Разложение подстановки в произведение независимых циклов. Транспозиции. Разложение подстановки в произведение транспозиций. Инверсия.

Лекция 7 (04.10.2016) След матрицы. Единичная матрица. Элементарные матрицы. Обратная матрица. Алгоритм нахождения обратной матрицы с помощью элементарных преобразований. Матрица обратима тогда и только тогда, когда она невырождена.

Лекция 6 (01.10.2016) Теорема Кронекера-Капелли и критерий определенности СЛУ в терминах рангов. Сложение матриц и умножение матрицы на скаляр. Умножение матриц. Матричная форма записи СЛУ. Умножение на диагональную матрицу. Скалярные матрицы. Свойства операций: ассоциативность, дистрибутивность, отсутствие коммутативности. Транспонирование и его свойства. Матричные единицы и символы Кронекера.

Лекция 5 (27.09.2016) Строчный и столбцовый ранги матрицы. Элементарные преобразования строк не изменяют линейных соотношений между столбцами. Совпадение строчного и столбцового рангов. Алгоритм нахождения базы. Размерность пространства решений однородной системы равна n-rk A. Для любого линейного подмногообразия найдется СЛУ, множеством решений которой оно является.

Лекция 4 (20.09.2016) Множество решений системы - подпространство тогда и только тогда, когда система однородна. Фундаментальная система решений (ФСР). Размерность пространства решений равна числу свободных неизвестных. Алгоритм нахождения ФСР. Множество решений СЛУ является линейным подмногообразием: произвольное решение есть сумма частного решения и решения ассоциированной однородной системы. Ранг и база конечной системы векторов. Эквивалентные наборы векторов, неизменность ранга при элементарных преобразованиях.

Лекция 3 (13.09.2016) Линейная оболочка. Порождающее множество для подпространства. Основная лемма о линейной зависимости. Базис подпространства арифметического векторного пространства. Стандартный базис в R^n. Дополнение линейно независимого набора до базиса. Размерность: корректность определения. Свойства размерности.

Лекция 2 (06.09.2016) Улучшенный ступенчатый вид. Элементарные преобразования над уравнениями системы. Обратимость. Экзотические уравнения и критерий совместности. Строго ступенчатые матрицы и критерий определенности. Системы, где число уравнений меньше числа неизвестных. Арифметическое векторное пространство. Линейная комбинация. Линейная зависимость и независимость: примеры и основные свойства. Подпространства.

Лекция 1 (03.09.2016) Общая информация о курсе и контрольных мероприятиях. Системы линейных уравнений малых порядков, главные и свободные переменные, формулы Крамера для систем второго порядка, общий вид системы линейных уравнений, матрица коэффициентов и расширенная матрица системы, совместные и определенные системы, однородные системы, эквивалентные системы, три типа элементарных преобразований строк матрицы, лидер строки, ступенчатые и верхнетреугольные матрицы. Приведение матрицы к ступенчатому виду.