Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- лекции_1_курс_2_поток_осень_2016 [01.10.2016 17:24]
arjantse
+++ лекции_1_курс_2_поток_осень_2016 [08.04.2025 16:43] (текущий)
@@ Строка 1: / Строка 1: @@
 ===Лекции по алгебре, 1 курс 2 поток, осень 2016, лектор И.В.Аржанцев===
 ----
+Курс завершен.
+**Лекция 24** (17.12.2016) Подгруппы циклических групп. Левые и правые смежные классы. Индекс подгруппы. Теорема Лагранжа и ее следствия.
+**Лекция 23** (13.12.2016) Порядок группы. Порядок общей линейной и специальной линейной группы над полем вычетов. Порядок элемента. Циклическая подгруппа. Циклическая группа. Классификация циклических групп с точностью до изоморфизма.
+**Лекция 22** (10.12.2016) Гомоморфизмы, изоморфизмы, эндоморфизмы и автоморфизмы групп. Ядро и образ гомоморфизма. Примеры. Группы симметрий и группы вращений. Группа диэдра. Группа кватернионов.
+**Лекция 21** (03.12.2016) Теорема Виета. Дискриминант многочлена. Результант двух многочленов. Связь результанта и дискриминанта. Вычисление результанта через определитель (без доказательства). Группы и подгруппы. Гомоморфизмы групп.
+**Лекция 20** (29.11.2016) Многочлены от многих переменных. Лексикографический порядок. Лемма о старшем члене. Симметрические многочлены. Примеры: элементарные симметрические многочлены и степенные суммы. Основная теорема о симметрических многочленах.
+**Лекция 19** (26.11.2016) Доказательство теоремы Декарта. Поле частных области целостности. Рациональные дроби, правильные дроби и простейшие дроби. Разложение правильной дроби в сумму простейших (без доказательства единственности).
+**Лекция 18** (22.11.2016) Связь неприводимости многочлена и наличия корня. Отделение кратных корней. Неприводимые многочлены над C и над R. Рациональные корни многочлена с целыми коэффициентами. Теорема Декарта.
+**Лекция 17** (17.11.2016) Основная теорема алгебры. Лемма о возрастании модуля. Лемма Даламбера. Доказательство основной теоремы алгебры. Алгебраически замкнутое поле.
+**Лекция 16** (12.11.2016) Евклидовы кольца. Алгоритм Евклида. НОД и его существование. Лемма о линейном представлении НОД. Взаимно простые элементы. Неприводимые и простые элементы. Неприводимые многочлены. Однозначность разложения на простые множители в евклидовых кольцах.
+**Лекция 15** (05.11.2016) Интерполяционный многочлен Лагранжа. Теорема о делении с остатком для многочленов. Теорема Безу. Кратность корня. Формальная производная многочлена. Формула Тейлора. Понижение кратности корня при дифференцировании. Число корней многочлена с учетом кратности не превосходит степени. Области целостности.
+**Лекция 14** (01.11.2016) Умножение комплексных чисел в тригонометрической форме. Формула Муавра. Извлечение корней. Корни из единицы. Первообразные корни. Кольцо многочленов от одной переменной над полем. Степень многочлена.
+Формальное и функциональное равенство многочленов. Задача интерполяции.
+**Лекция 13** (29.10.2016) Поля. Вычеты. Кольца вычетов, являющиеся полями. Характеристика поля. Поле комплексных чисел. Алгебраическая форма записи. Сопряжение. Комплексная плоскость и тригонометрическая форма записи.
+**Лекция 12** (22.10.2016) Множество с бинарной операцией, полугруппа, моноид, группа, абелева группа, мультипликативная и аддитивная форма записи, примеры групп. Кольца: обратимые элементы, делители нуля и нильпотенты. Примеры колец.
+**Лекция 11** (18.10.2016) Разложение определителя по строке и по столбцу. Фальшивое разложение. Присоединенная матрица. Формула для обратной матрицы. Определитель произведения матриц. Теорема Крамера и формулы Крамера. Теорема о ранге матрицы.
+**Лекция 10** (15.10.2016) Изменение определителя при элементарных преобразованиях. Невырожденность равносильна отличию определителя от нуля. Определитель как единственная кососимметрическая полилинейная нормированная функция. Определитель с углом нулей. Определитель Вандермонда. Миноры и алгебраические дополнения.
+**Лекция 9** (11.10.2016) Четность подстановки. Изменение четности при умножении на транспозицию. Число четных подстановок равно числу нечетных. Знак подстановки. Знак произведения. Четность обратной подстановки. Определение определителя формулой. Определитель верхнетреугольной матрицы. Свойства определителя: полилинейность, кососимметричность, неизменность при транспонировании.
+**Лекция 8** (08.10.2016) Ранг произведения матриц. Перестановки, их количество. Умножение подстановок. Ассоциативность. Единичная и обратная подстановки. Разложение подстановки в произведение независимых циклов. Транспозиции. Разложение подстановки в произведение транспозиций. Инверсия.
+**Лекция 7** (04.10.2016) След матрицы. Единичная матрица. Элементарные матрицы. Обратная матрица. Алгоритм нахождения обратной матрицы с помощью элементарных преобразований. Матрица обратима тогда и только тогда, когда она невырождена.
 **Лекция 6** (01.10.2016) Теорема Кронекера-Капелли и критерий определенности СЛУ в терминах рангов. Сложение матриц и умножение матрицы на скаляр. Умножение матриц. Матричная форма записи СЛУ. Умножение на диагональную матрицу. Скалярные матрицы. Свойства операций: ассоциативность, дистрибутивность, отсутствие коммутативности. Транспонирование и его свойства. Матричные единицы и символы Кронекера.