Кафедра высшей алгебры

Лектор: Э.Б. Винберг

1-я лекция 02.09. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса. Системы однородных линейных уравнений с числом уравнений, меньшим числа неизвестных.

2-я лекция 06.09. Абелевы группы (аддитивные и мультипликативные). Подгруппы. Кольца и поля. Подкольца и подполя.

3-я лекция 09.09. Операции над матрицами: сложение, умножение на число (элемент поля), умножение матриц; их свойства. Кольцо M_n(K) квадратных матриц.

Поле комплексных чисел (аксиоматическое определение), его существование и единственность (с точностью до изоморфизма).

4-я лекция 16.09. Матричная модель поля C.

Комплексное сопряжение. Геометрическое изображение и тригонометрическая форма комплексного числа. Умножение, деление, возведение в степень и извлечение корня в тригонометрической форме. Группа корней n-й степени из единицы.

Общая конструкция квадратичного расширения поля.

5-я лекция 20.09. Векторные пространства. Простейшие следствия аксиом. Подпространства. Линейные комбинации векторов и линейная выражаемость. Линейно зависимые (независимые) системы векторов. Три леммы о линейной зависимости, в том числе третья - «основная». Линейная оболочка <S> подмножества S векторного пространства. Порождающие системы векторов. Конечномерные векторные пространства. Следствие основной леммы о линейной зависимости: если векторное пространство порождается n векторами, то любые m>n векторов линейно зависимы.

6-я лекция 27.09. Базис и размерность (конечномерного) векторного пространства. Изоморфность векторных пространств одинаковой размерности.

Дополнение любой линейно независимой системы векторов до базиса. Максимальные линейно независимые системы векторов заданного подмножества S векторного пространства V как базисы линейной оболочки этого подмножества. Ранг подмножества S<V. Теорема о размерности подпространства.

Ранг матрицы (ранг системы ее строк). Теорема о том, что ранг матрицы равен числу ненулевых строк в ступенчатой матрице, к которой она приводится элементарными преобразованиями строк.

7-я лекция 30.09. Применение понятия ранга матрицы к исследованию систем линейных уравнений: критерии совместности и определенности, размерность пространства решений системы однородных линейных уравнений. Связь между множествами решений совместной системы линейных уравнений и соответствующей системы однородных линейных уравнений.

Теорема о том, что ранг матрицы равен рангу системы ее столбцов и, следовательно, не меняется при элементарных преобразованиях столбцов. Ранг произведения матриц.

8-я лекция 04.10. Транспонирование матриц, его свойства.

Квадратные системы линейных уравнений. Невырожденные квадратные матрицы (ранг равен порядку матрицы).

Обратная матрица, ее единственность. Теорема о том, что квадратная матрица обратима тогда и только тогда, когда она невырожденна. Нахождение обратной матрицы при помощи элементарных преобразований строк.

Описание всех базисов n-мерного векторного пространства. Формулы преобразования координат.

9-я лекция 07.10. Определители 2-го и 3-го порядков, их геометрический смысл.

Перестановки, их четность и знак. Изменение знака перестановки при транспозиции.

Определение определителя квадратной матрицы (явное выражение). Основные свойства определителя. Определитель треугольной матрицы. Вычисление определителя с помощью элементарных преобразований строк.

10-я лекция 14.10. Критерий вырожденности матрицы в терминах ее определителя. Определитель транспонированной матрицы. Определитель матрицы с углом нулей.

Задача интерполяции и определитель Вандермонда.

Разложение определителя по строке (столбцу).

11-я лекция 17.10. Определитель произведения матриц. Выражение объема параллелепипеда через длины его ребер и углы междк ними.

Теорема о ранге матрицы.

Формулы Крамера.

12-я лекция 18.10. Явные формулы для элементов обратной матрицы.

Кольцо вычетов по модулю n и группа его обратимых элементов. Выяснение того, когда оно является полем.

13-я лекция 21.10. Малая теорема Ферма.

Определение алгебры и подалгебры. Таблица умножения алгебры.

Алгебра K[x} многочленов над бесконечным полем K как подалгебра алгебры функций. Линейная независимость степенных функций.

Определение алгебры многочленов над любым полем посредством таблицы умножения.

Степень многочлена. Степень суммы и произведения многочленов. Отсутствие делителей нуля в алгебре многочленов.

14-я лекция 28.10. Деление многочленов с остатком. Деление на x-c. Теорема Безу. Схема Горнера. Разложение многочлена по степеням x-c. Формула Тейлора для многочлена над полем нулевой характеристики.

Кратность корня многочлена, ее геометрический смысл для многочленов над R.

15-я лекция 01.11. Число корней многочлена с учетом кратностей и разложение многочленов на линейные множители. Формулы Виета.

Основная теорема алгебры комплексных чисел (схема доказательства).

16-я лекция 06.11. Мнимые корни многочленов с вещественными коэффициентами. Разложение на линейные и квадратичные множители в R[x].

Теорема Декарта.

17-я лекция 11.11. Целостные кольца. Делимость, обратимые и ассоциированные элементы в целостных кольцах. Наибольший общий делитель, его единственность (при условии существования).

Евклидовы кольца. Примеры - Z, K[x], Z[i]. Существование н.о.д. и его линейное выражение в евклидовом кольце. Взаимно простые элементы. Существование и единственность разложения на простые множители.

18-я лекция 15.11. Рациональные корни целочисленных многочленов. Примитивные целочисленные многочлены. Лемма Гаусса. Неприводимость над Q многочлена деления круга на p частей.

Многочлены от нескольких переменных над бесконечным полем как функции. Линейная независимость одночленов. Формальное построение алгебры многочленов от нескольких переменных над произвольным полем (как алгебры с заданной таблицей умножения базисных векторов). Степень многочлена по совокупности переменных.

19-я лекция 18.11. Лексикографическое упорядочение одночленов. Старший член произведения двух многочленов. Отсутствие делителей нуля в алгебре многочленов.

Симметрические многочлены. Основная теорема о симметрических многочленах.

20-я лекция 25.11. Дискриминант многочлена. Вычисление дискриминанта (неполного) кубического многочлена. Определение числа вещественных корней кубического многочлена с вещественными коэффициентами по знаку его дискриминанта.

Поле отношений целостного кольца.

21-я лекция 29.11. Поле рациональных дробей. Представление рациональной дроби в виде суммы многочлена и правильной дроби. Представление правильной рациональной дроби в виде суммы простейших дробей. Явная формула для случая, когда знаменатель разлагается на различные линейные множители, связь с интерполяционной формулой Лагранжа.

Понятие группы. Группа невырожденных матриц и группа подстановок.

22-я лекция 02.12. Подгруппы. Гомоморфизмы и изоморфизмы групп. Образ и ядро гомоморфизма. Полный прообраз элемента при гомоморфизме. Определитель матрицы и знак подстановки как примеры гомоморфизмов.

23-я лекция 09.12. Отношение сравнимости элементов группы по модулю подгруппы. Смежные классы. Теорема Лагранжа.

Связь между порядками группы и образа и ядра ее гомоморфизма в другую группу. Гомоморфизм S_4→S_3.

Степени элемента группы. Порядок элемента. Циклическая подгруппа, порожденная элементом, ее изоморфизм с одной из групп Z_n или Z. Порядок элемента конечной группы. Группы простого порядка. Малая теорема Ферма и теорема Эйлера: их групповой смысл.

24-я лекция 13.12. Подгруппы циклических групп. Цикличность мультипликативной группы конечного поля. Квадратичные вычеты по модулю p. Критерий того, когда -1 является квадратичным вычетом.

Простое подполе поля характеристики p. Число элементов конечного поля.

Квадратичное расширение F(\sqrt d) поля F. Построение поля из p^2 элементов при p>2.