Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- лекции_1_курс_2_поток_осень_2017 [07.10.2017 17:33]
vinberg
+++ лекции_1_курс_2_поток_осень_2017 [08.04.2025 16:43] (текущий)
@@ Строка 54: / Строка 54: @@
 Перестановки, их четность и знак. Изменение знака перестановки при транспозиции.
-Определение определителя квадратной матрицы (явное выражение). Основные свойства определителя. Определительтреугольной матрицы. Вычисление определителя с помощью элементарных преобразований.
+Определение определителя квадратной матрицы (явное выражение). Основные свойства определителя. Определитель треугольной матрицы. Вычисление определителя с помощью элементарных преобразований строк.
+-я лекция 14.10.
+Критерий вырожденности матрицы в терминах ее определителя. Определитель транспонированной матрицы. Определитель матрицы с углом нулей.
+Задача интерполяции и определитель Вандермонда.
+Разложение определителя по строке (столбцу).
+-я лекция 17.10.
+Определитель произведения матриц. Выражение объема параллелепипеда через длины его ребер и углы междк ними.
+Теорема о ранге матрицы.
+Формулы Крамера.
+-я лекция 18.10.
+Явные формулы для элементов обратной матрицы.
+Кольцо вычетов по модулю n и группа его обратимых элементов. Выяснение того, когда оно является полем.
+-я лекция 21.10.
+Малая теорема Ферма.
+Определение алгебры и подалгебры. Таблица умножения алгебры.
+Алгебра K[x} многочленов над бесконечным полем K как подалгебра алгебры функций. Линейная независимость степенных функций.
+Определение алгебры многочленов над любым полем
+посредством таблицы умножения.
+Степень многочлена. Степень суммы и произведения многочленов. Отсутствие делителей нуля в алгебре многочленов.
+-я лекция 28.10.
+Деление многочленов с остатком. Деление на x-c. Теорема Безу. Схема Горнера. Разложение многочлена по степеням x-c. Формула Тейлора для многочлена над полем нулевой характеристики.
+Кратность корня многочлена, ее геометрический смысл для многочленов над R.
+-я лекция 01.11.
+Число корней многочлена с учетом кратностей и разложение многочленов на линейные множители.
+Формулы Виета.
+Основная теорема алгебры комплексных чисел (схема доказательства).
+-я лекция 06.11.
+Мнимые корни многочленов с вещественными коэффициентами. Разложение на линейные и квадратичные множители в R[x].
+Теорема Декарта.
+-я лекция 11.11.
+Целостные кольца. Делимость, обратимые и ассоциированные элементы в целостных кольцах.
+Наибольший общий делитель, его единственность (при условии существования).
+Евклидовы кольца. Примеры - Z, K[x], Z[i].
+Существование н.о.д. и его линейное выражение в евклидовом кольце. Взаимно простые элементы. Существование и единственность разложения на простые множители.
+-я лекция 15.11.
+Рациональные корни целочисленных многочленов.
+Примитивные целочисленные многочлены. Лемма Гаусса.
+Неприводимость над Q многочлена деления круга на p частей.
+Многочлены от нескольких переменных над бесконечным полем как функции. Линейная независимость одночленов. Формальное построение алгебры многочленов от нескольких переменных над произвольным полем (как алгебры с заданной таблицей умножения базисных векторов). Степень многочлена по совокупности переменных.
+-я лекция 18.11.
+Лексикографическое упорядочение одночленов. Старший член произведения двух многочленов. Отсутствие делителей нуля в алгебре многочленов.
+Симметрические многочлены. Основная теорема о симметрических многочленах.
+-я лекция 25.11.
+Дискриминант многочлена. Вычисление дискриминанта (неполного) кубического многочлена. Определение числа вещественных корней кубического многочлена с вещественными коэффициентами по знаку его дискриминанта.
+Поле отношений целостного кольца.
+-я лекция 29.11.
+Поле рациональных дробей. Представление рациональной дроби в виде суммы многочлена и правильной дроби. Представление правильной рациональной дроби в виде суммы простейших дробей.
+Явная формула для случая, когда знаменатель разлагается на различные линейные множители, связь с интерполяционной формулой Лагранжа.
+Понятие группы. Группа невырожденных матриц и группа подстановок.
+-я лекция 02.12.
+Подгруппы. Гомоморфизмы и изоморфизмы групп. Образ и ядро гомоморфизма. Полный прообраз элемента при гомоморфизме. Определитель матрицы и знак подстановки как примеры гомоморфизмов.
+-я лекция 09.12.
+Отношение сравнимости элементов группы по модулю подгруппы. Смежные классы. Теорема Лагранжа.
+Связь между порядками группы и образа и ядра ее гомоморфизма в другую группу. Гомоморфизм S_4->S_3.
+Степени элемента группы. Порядок элемента. Циклическая подгруппа, порожденная элементом, ее изоморфизм с одной из групп Z_n или Z. Порядок элемента конечной группы. Группы простого порядка.
+Малая теорема Ферма и теорема Эйлера: их групповой смысл.
+-я лекция 13.12.
+Подгруппы циклических групп. Цикличность мультипликативной группы конечного поля. Квадратичные вычеты по модулю p. Критерий того, когда -1 является квадратичным вычетом.
+Простое подполе поля характеристики p. Число элементов конечного поля.
+Квадратичное расширение F(\sqrt d) поля F. Построение поля из p^2 элементов при p>2.