Кафедра высшей алгебры

Вы посетили:



      

Различия

Здесь показаны различия между выбранной ревизией и текущей версией данной страницы.

лекции_1_курс_2_поток_осень_2019 [12.09.2019 12:07]
vinberg
лекции_1_курс_2_поток_осень_2019 [18.12.2019 18:45] (текущий)
vinberg
Строка 7: Строка 7:
Обратная матрица, ее единственность. Обратимость элементарных матриц и произведения обратимых матриц. Обратная матрица, ее единственность. Обратимость элементарных матриц и произведения обратимых матриц.
 +
 +3-я лекция 14.09.
 +Критерий обратимрсти квадратной матрицы в терминах ее ступенчатого вида. Практический способ нахождения обратной матрицы.
 +
 +Абелевы группы, кольца и поля. Подгруппы и подкольца.
 +
 +4-я лекция 21.09.
 +Понятие изоморфизма алгебраических структур. Аксиоматическое определение и построение поля комплексных чисел.
 +
 +5-я лекция 25.09.
 +Алгебраическая форма комплексного числа. Комплексное сопряжение.
 +
 +Геометрическое изображение комплексного числа. Геометрический смысл сложения и вычитания комплексных чисел.
 +
 +Тригонометрическая форма комплексного числа. Умножение, деление, возведение в степень и извлечение корня в тригонометрической форме.
 +
 +Векторные пространства. Подпространства. Линейная зависимость. Порождающие системы векторов и базисы.
 +
 +6-я лекция 02.10.
 +Конечномерные векторные пространства, базис и размерность. Описание всех базисов конечномерного векторного пространства. Формула преобразования координат.
 +
 +Линейная оболочка и ранг системы векторов. Ранг матрицы как ранг системы ее строк, его сохранение при элементарных преобразованиях строк. Ранг ступенчатой матрицы.
 +
 +7-я лекция 05.10.
 +Теорема о том, что линейные зависимости между столбцами матрицы не меняются при элементарных преобразованиях строк. Совпадение рангов систем строк и столбцов матрицы.
 +
 +Критерии совместности и определенности системы линейных уравнений в терминах рангов матриц. Размерность пространства решений системы однородных линейных уравнений. Связь между множествами решений совместной системы линейных уравнений и соответствующей системы однородных линейных уравнений.
 +
 +Ранг произведения матриц. Критерий обратимости квадратной матрицы в терминах ее ранга.
 +
 +8-я лекция 09.10. Перестановки. Четность и знак перестановки, их изменение при транспозиции.
 +
 +Определение определителя квадратной матрицы (явной формулой). Теорема о том, что определитель является кососимметрической полилинейной функцией строк матрицы.
 +Поведение определителя при элементарных преобразованиях строк матрицы. Определитель треугольной матрицы. Критерий обратимости матрицы в терминах ее определителя.
 +
 +9-я лекция 12.10. Определитель транспонированной матрицы. Определитель матрицы с углом нулей. Разложение определителя по строке (столбцу). Определитель Вандермонда. Определитель произведения матриц.
 +
 +10-я лекция 19.10.
 +Формулы Крамера. Явный вид обратной матрицы. Теорема о ранге матрицы. Вычисление ранга матрицы методом окаймления миноров.
 +
 +Объем параллелепипеда (площадь параллелограмма) как определитель матрицы координат его ребер.
 +
 +11-я лекция 23.10.
 +Отношения эквивалентности, согласованные с операциями на множестве. Факторструктуры алгебраических структур.
 +
 +Кольцо Z_n вычетов по модулю n, его делители нуля и обратимые элементы. Выяснение того, когда оно является полем.
 +
 +Характеристика поля. Доказательство того, что всякое поле характеристики p>0 содержит подполе, изоморфное Z_p. Формула (a+b)^p=a^p+b^p в поле характеристики p. Малая теорема Ферма.
 +
 +12-я лекция 26.10.
 +Алгебры. Таблица умножения алгебры.
 +
 +Формальное построение алгебры многочленов K[x} над произвольным полем K. Совпадение формального и функционального равенства многочленов над бесконечным
 +полем.
 +
 +Степень многочлена. Степень суммы и произведения многочленов. Отсутствие делителей нуля в алгебре K[x].
 +
 +13-я лекция 30.10.
 +Деление многочленов с остатком. Деление на x-c. Теорема Безу. Схема Горнера. Разложение многочлена по степеням x-c.
 +Формула Тейлора (для многочленов над полем нулевой характеристики).
 +
 +Кратность корня многочлена. Число корней многочлена с учетом их кратностей. Определение кратности корня по значениям производных (над полем нулевой характеристики).
 +
 +14-я лекция 06.11.
 +Основная теорема алгебры комплексных чисел. Число корней (с учетом кратностей) многочлена над полем комплексных чисел.
 +
 +15-я лекция 09.11.
 +Многочлены с вещественными коэффициентами: свойство мнимых корней и разложение на линейные множители и квадратичные множители с отрицательным дискриминантом. Теорема Декарта.
 +
 +16-я лекция 16.11.
 +Евклидовы кольца: наибольший общий делитель и разложение на простые множители.
 +
 +17-я лекция 20.11. Многочлены с рациональными коэффициентами: рациональные корни, лемма Гаусса. Неприводимость многочлена деления круга на простое число частей.
 +
 +Алгебра многочленов от нескольких переменных. Совпадение формального и функционального равенства многочленов в случае бесконечного поля. Отсутствие делителей нуля в алгебре многочленов. Степень многочлена по совокупности переменных. Однородные многочлены. Степень суммы и произведения многочленов.  
 +
 +18-я лекция 23.11. Лексикографическое упорядочение одночленов. Симметрические многочлены, их выражение через элементарные симметрические многочлены.
 +
 +19-я декция 30.11. Дискриминант (неполного) кубического многочлена. Определение числа вещественных корней кубического многочлена с вещественными коэффициентами.
 +
 +Поле отношений целостного кольца.
 +
 +20-я лекция 04.12. Поле рациональных дробей. Представление рациональной дроби в виде суммы многочлена и правильной дроби. Представление правильной рациональной дроби в виде суммы простейших дробей (без доказательства единственности). Явная формула для случая, когда знаменатель данной дроби разложен в произведение различных линейных множителей, ее связь с интерполяционной формулой Лагранжа.
 +
 +Понятия группы и подгруппы. Простейшие следствия из аксиом группы. Группы преобразований.
 +
 +21-я лекция 07.12. Разбиение группы на смежные классы по подгруппе. Теорема Лагранжа.
 +
 +Гомоморфизмы и изоморфизмы групп. Ядро и образ гомоморфизма. Полный прообраз элемента при гомоморфизме.
 +
 +Знак подстановки. Группа четных подстановок.
 +
 +Гомоморфизм группы S_4 нв группу S_3, его ядро.
 +
 +22-я лекция 14.12. Порядок элемента группы. Циклическая подгруппа, порожденнная элементом группы, ее строение.
 +Порядок элемента конечной группы. Группы простого порядка.
 +
 +Малая теорема Ферма и теорема Эйлера, их групповой смысл.
 +
 +Подгруппы циклических групп.
 +
 +23-я лекция 18.12. Квадратичные расширения полей.
 +
 +
 +
 +