Кафедра высшей алгебры

Вы посетили:



      

Различия

Здесь показаны различия между выбранной ревизией и текущей версией данной страницы.

лекции_1_курс_2_поток_осень_2019 [10.10.2019 11:43]
vinberg
лекции_1_курс_2_поток_осень_2019 [18.12.2019 18:45] (текущий)
vinberg
Строка 41: Строка 41:
Определение определителя квадратной матрицы (явной формулой). Теорема о том, что определитель является кососимметрической полилинейной функцией строк матрицы. Определение определителя квадратной матрицы (явной формулой). Теорема о том, что определитель является кососимметрической полилинейной функцией строк матрицы.
Поведение определителя при элементарных преобразованиях строк матрицы. Определитель треугольной матрицы. Критерий обратимости матрицы в терминах ее определителя. Поведение определителя при элементарных преобразованиях строк матрицы. Определитель треугольной матрицы. Критерий обратимости матрицы в терминах ее определителя.
 +
 +9-я лекция 12.10. Определитель транспонированной матрицы. Определитель матрицы с углом нулей. Разложение определителя по строке (столбцу). Определитель Вандермонда. Определитель произведения матриц.
 +
 +10-я лекция 19.10.
 +Формулы Крамера. Явный вид обратной матрицы. Теорема о ранге матрицы. Вычисление ранга матрицы методом окаймления миноров.
 +
 +Объем параллелепипеда (площадь параллелограмма) как определитель матрицы координат его ребер.
 +
 +11-я лекция 23.10.
 +Отношения эквивалентности, согласованные с операциями на множестве. Факторструктуры алгебраических структур.
 +
 +Кольцо Z_n вычетов по модулю n, его делители нуля и обратимые элементы. Выяснение того, когда оно является полем.
 +
 +Характеристика поля. Доказательство того, что всякое поле характеристики p>0 содержит подполе, изоморфное Z_p. Формула (a+b)^p=a^p+b^p в поле характеристики p. Малая теорема Ферма.
 +
 +12-я лекция 26.10.
 +Алгебры. Таблица умножения алгебры.
 +
 +Формальное построение алгебры многочленов K[x} над произвольным полем K. Совпадение формального и функционального равенства многочленов над бесконечным
 +полем.
 +
 +Степень многочлена. Степень суммы и произведения многочленов. Отсутствие делителей нуля в алгебре K[x].
 +
 +13-я лекция 30.10.
 +Деление многочленов с остатком. Деление на x-c. Теорема Безу. Схема Горнера. Разложение многочлена по степеням x-c.
 +Формула Тейлора (для многочленов над полем нулевой характеристики).
 +
 +Кратность корня многочлена. Число корней многочлена с учетом их кратностей. Определение кратности корня по значениям производных (над полем нулевой характеристики).
 +
 +14-я лекция 06.11.
 +Основная теорема алгебры комплексных чисел. Число корней (с учетом кратностей) многочлена над полем комплексных чисел.
 +
 +15-я лекция 09.11.
 +Многочлены с вещественными коэффициентами: свойство мнимых корней и разложение на линейные множители и квадратичные множители с отрицательным дискриминантом. Теорема Декарта.
 +
 +16-я лекция 16.11.
 +Евклидовы кольца: наибольший общий делитель и разложение на простые множители.
 +
 +17-я лекция 20.11. Многочлены с рациональными коэффициентами: рациональные корни, лемма Гаусса. Неприводимость многочлена деления круга на простое число частей.
 +
 +Алгебра многочленов от нескольких переменных. Совпадение формального и функционального равенства многочленов в случае бесконечного поля. Отсутствие делителей нуля в алгебре многочленов. Степень многочлена по совокупности переменных. Однородные многочлены. Степень суммы и произведения многочленов.  
 +
 +18-я лекция 23.11. Лексикографическое упорядочение одночленов. Симметрические многочлены, их выражение через элементарные симметрические многочлены.
 +
 +19-я декция 30.11. Дискриминант (неполного) кубического многочлена. Определение числа вещественных корней кубического многочлена с вещественными коэффициентами.
 +
 +Поле отношений целостного кольца.
 +
 +20-я лекция 04.12. Поле рациональных дробей. Представление рациональной дроби в виде суммы многочлена и правильной дроби. Представление правильной рациональной дроби в виде суммы простейших дробей (без доказательства единственности). Явная формула для случая, когда знаменатель данной дроби разложен в произведение различных линейных множителей, ее связь с интерполяционной формулой Лагранжа.
 +
 +Понятия группы и подгруппы. Простейшие следствия из аксиом группы. Группы преобразований.
 +
 +21-я лекция 07.12. Разбиение группы на смежные классы по подгруппе. Теорема Лагранжа.
 +
 +Гомоморфизмы и изоморфизмы групп. Ядро и образ гомоморфизма. Полный прообраз элемента при гомоморфизме.
 +
 +Знак подстановки. Группа четных подстановок.
 +
 +Гомоморфизм группы S_4 нв группу S_3, его ядро.
 +
 +22-я лекция 14.12. Порядок элемента группы. Циклическая подгруппа, порожденнная элементом группы, ее строение.
 +Порядок элемента конечной группы. Группы простого порядка.
 +
 +Малая теорема Ферма и теорема Эйлера, их групповой смысл.
 +
 +Подгруппы циклических групп.
 +
 +23-я лекция 18.12. Квадратичные расширения полей.
 +
 +
 +
 +