Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- лекции_1_курс_3_поток_осень_2016 [03.09.2016 21:46]
markov
+++ лекции_1_курс_3_поток_осень_2016 [08.04.2025 16:43] (текущий)
@@ Строка 1: / Строка 1: @@
 ======1-й курс, 3-й поток. Алгебра: лекции (В.Т.Марков) ======
-^{{https://docs.google.com/file/d/0B-xGIIFdmg-sckhjYno1bXJKSUE/view?usp=sharing|Конспект лекций}}^{{https://drive.google.com/file/d/0B-xGIIFdmg-sRElOQ1NfLUVqZGs/view?usp=sharing|Предварительный список вопросов}} к экзамену (первые 28 предполагается включить в программу коллоквиума).^^
+^{{https://docs.google.com/file/d/0B-xGIIFdmg-sckhjYno1bXJKSUE/view?usp=sharing|Конспект лекций}}^{{https://drive.google.com/file/d/0B-xGIIFdmg-saGx4STNmcVd6b00/view?usp=sharing|Cписок вопросов}} к экзамену.|^^
 ----
 ^Дата^Содержание лекции^
-| 12.9.2016|Линейная зависимость строк (столбцов). Основная лемма о линейной зависимости, база и ранг системы строк (столбцов) |
+| 5.12.2016|Симметрические многочлены. Монотонность старшего члена симметрического многочлена. Существование и единственность представления симметрического многочлена в виде многочлена от элементарных симметрических многочленов. Формулы Виета.  |
+^ ^ ^
+| 28.11.2016|Доказательство теоремы Штурма. Кольцо многочленов от нескольких переменных.  Лексикографический порядок на одночленах. Старший член произведения.  |
+^ ^ ^
+| 25.11.2016|Границы корней многочлена. Теорема Декарта. Система Штурма. Теорема Штурма. Построение стандартной системы Штурма с помощью последовательного деления с остатком (доказательства отложены до следующей лекции).   |
+^ ^ ^
+| 22.11.2016|Интерполяционный многочлен, формула Лагранжа и метод Ньютона для его построения. Поле рациональных дробей. Простейшие дроби. Разложение правильной дроби в сумму простейших дробей, случай вещественного и комплексного полей. |
+^ ^ ^
+| 21.11.2016|Алгебраическая замкнутость поля комплексных чисел. Неприводимые многочлены над полями комплексных и действительных чисел. |
+^ ^ ^
+| 14.11.2016|Неприводимые многочлены. Факториальность кольца многочленов и кольца целых чисел. Многочлен как функция. Схема Горнера. Корни многочлена, кратность корня. Понижение кратности корня при дифференцировании, избавление от кратных корней. |
+^ ^ ^
+| 8.11.2016|Кольцо многочленов от одной переменной над полем. Возможность и единственность деления на ненулевой многочлен с остатком. Наибольший общий делитель двух многочленов, его выражение через многочлены, алгоритм Евклида. |
+^ ^ ^
+| 7.11.2016|Поле комплексных чисел. Комплексная плоскость. Модуль и аргумент комплексного числа. Алгебраическая и тригонометрическая форма записи комплексных чисел. Операция сопряжения комплексных чисел и ее свойства. Формула Муавра. Корни целой степени из комплексного числа. Группа комплексных корней из единицы. |
+^ ^ ^
+| 31.10.2016|Нормальные подгруппы и фактор-группы (//окончание предыдущей лекции//). Определение кольца. Примеры колец. Кольцо вычетов. Обратимые элементы и  делители нуля в кольцах. Определение поля. Когда кольцо вычетов является полем? Классификация конечных полей (//без доказательства//). |
+^ ^ ^
+| 25.10.2016|Циклические группы. Порядок элемента. Подгруппы циклических групп. Изоморфизм циклических групп одного порядка. Теорема Кэли. Смежные классы, теорема Лагранжа и ее следствия. |
+^ ^ ^
+| 24.10.2016|Определение группы. Примеры групп. Конечные и бесконечные группы, абелевы группы. Подгруппы. Гомоморфизмы и изоморфизмы групп. |
+^ ^ ^
+| 17.10.2016|Ранг произведения матриц. Факторизационный ранг матрицы. Матричная запись системы линейных уравнений. Строение общего решения неоднородной системы уравнений, его геометрическая интерпретация |
+^ ^ ^
+| 11.10.2016|Матричные единицы. Элементарные матрицы и элементарные преобразования. Определитель произведения матриц. Нахождение обратной матрицы с помощью элементарных преобразований. |
+^ ^ ^
+| 10.10.2016|Операции над матрицами и их свойства. Обобщенная ассоциативность. Транспонирование произведения матриц. Умножение матрицы на диагональную матрицу слева и справа. Единичная матрица, ее единственность. Скалярные матрицы. Обратная матрица, ее единственность. Критерий существования и формула вычисления элементов обратной матрицы. |
+^ ^ ^
+| 27.09.2016|Миноры прямоугольной матрицы. Теорема об окаймляющих минорах. Вычисление ранга матрицы с помощью миноров (теорема о ранге матрицы). |
+^ ^ ^
+| 26.9.2016|Определитель матрицы с углом нулей. Определитель Вандермонда. Миноры и алгебраические дополнения элементов. Разложение определителя по строке (столбцу). Лемма о “фальшивом” разложении определителя. Формулы Крамера для решения определенных квадратных систем линейных уравнений. |
+^ ^ ^
+| 21.9.2016|Определитель квадратной матрицы, его основные свойства (линейность, кососимметричность, определитель транспонированной матрицы). Изменение определителя при элементарных преобразованиях строк (столбцов) матрицы. Определитель треугольной матрицы. Критерий равенства определителя нулю. |
+^ ^ ^
+| 19.9.2016|Группа подстановок конечного множества, знак подстановки (четность), знакопеременная группа, разложение подстановки в произведение транспозиций и независимых циклов. |
+^ ^ ^
+| 13.9.2016|Ранг матрицы. Критерий совместности и определенности системы линейных уравнений в терминах рангов матриц. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений. |
+^ ^ ^
+| 12.9.2016|Линейная зависимость строк (столбцов). Основная лемма о линейной зависимости, база и ранг системы строк (столбцов). |
 ^ ^ ^
 | 5.9.2016|Система линейных уравнений. Матрица коэффициентов и расширенная матрица системы. Элементарные преобразования. Приведение матриц и систем линейных уравнений к ступенчатому виду. Метод Гаусса.|