| Дата | Содержание лекции |
| 5.12.2016 | Симметрические многочлены. Монотонность старшего члена симметрического многочлена. Существование и единственность представления симметрического многочлена в виде многочлена от элементарных симметрических многочленов. Формулы Виета. |
| | |
| 28.11.2016 | Доказательство теоремы Штурма. Кольцо многочленов от нескольких переменных. Лексикографический порядок на одночленах. Старший член произведения. |
| | |
| 25.11.2016 | Границы корней многочлена. Теорема Декарта. Система Штурма. Теорема Штурма. Построение стандартной системы Штурма с помощью последовательного деления с остатком (доказательства отложены до следующей лекции). |
| | |
| 22.11.2016 | Интерполяционный многочлен, формула Лагранжа и метод Ньютона для его построения. Поле рациональных дробей. Простейшие дроби. Разложение правильной дроби в сумму простейших дробей, случай вещественного и комплексного полей. |
| | |
| 21.11.2016 | Алгебраическая замкнутость поля комплексных чисел. Неприводимые многочлены над полями комплексных и действительных чисел. |
| | |
| 14.11.2016 | Неприводимые многочлены. Факториальность кольца многочленов и кольца целых чисел. Многочлен как функция. Схема Горнера. Корни многочлена, кратность корня. Понижение кратности корня при дифференцировании, избавление от кратных корней. |
| | |
| 8.11.2016 | Кольцо многочленов от одной переменной над полем. Возможность и единственность деления на ненулевой многочлен с остатком. Наибольший общий делитель двух многочленов, его выражение через многочлены, алгоритм Евклида. |
| | |
| 7.11.2016 | Поле комплексных чисел. Комплексная плоскость. Модуль и аргумент комплексного числа. Алгебраическая и тригонометрическая форма записи комплексных чисел. Операция сопряжения комплексных чисел и ее свойства. Формула Муавра. Корни целой степени из комплексного числа. Группа комплексных корней из единицы. |
| | |
| 31.10.2016 | Нормальные подгруппы и фактор-группы (окончание предыдущей лекции). Определение кольца. Примеры колец. Кольцо вычетов. Обратимые элементы и делители нуля в кольцах. Определение поля. Когда кольцо вычетов является полем? Классификация конечных полей (без доказательства). |
| | |
| 25.10.2016 | Циклические группы. Порядок элемента. Подгруппы циклических групп. Изоморфизм циклических групп одного порядка. Теорема Кэли. Смежные классы, теорема Лагранжа и ее следствия. |
| | |
| 24.10.2016 | Определение группы. Примеры групп. Конечные и бесконечные группы, абелевы группы. Подгруппы. Гомоморфизмы и изоморфизмы групп. |
| | |
| 17.10.2016 | Ранг произведения матриц. Факторизационный ранг матрицы. Матричная запись системы линейных уравнений. Строение общего решения неоднородной системы уравнений, его геометрическая интерпретация |
| | |
| 11.10.2016 | Матричные единицы. Элементарные матрицы и элементарные преобразования. Определитель произведения матриц. Нахождение обратной матрицы с помощью элементарных преобразований. |
| | |
| 10.10.2016 | Операции над матрицами и их свойства. Обобщенная ассоциативность. Транспонирование произведения матриц. Умножение матрицы на диагональную матрицу слева и справа. Единичная матрица, ее единственность. Скалярные матрицы. Обратная матрица, ее единственность. Критерий существования и формула вычисления элементов обратной матрицы. |
| | |
| 27.09.2016 | Миноры прямоугольной матрицы. Теорема об окаймляющих минорах. Вычисление ранга матрицы с помощью миноров (теорема о ранге матрицы). |
| | |
| 26.9.2016 | Определитель матрицы с углом нулей. Определитель Вандермонда. Миноры и алгебраические дополнения элементов. Разложение определителя по строке (столбцу). Лемма о “фальшивом” разложении определителя. Формулы Крамера для решения определенных квадратных систем линейных уравнений. |
| | |
| 21.9.2016 | Определитель квадратной матрицы, его основные свойства (линейность, кососимметричность, определитель транспонированной матрицы). Изменение определителя при элементарных преобразованиях строк (столбцов) матрицы. Определитель треугольной матрицы. Критерий равенства определителя нулю. |
| | |
| 19.9.2016 | Группа подстановок конечного множества, знак подстановки (четность), знакопеременная группа, разложение подстановки в произведение транспозиций и независимых циклов. |
| | |
| 13.9.2016 | Ранг матрицы. Критерий совместности и определенности системы линейных уравнений в терминах рангов матриц. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений. |
| | |
| 12.9.2016 | Линейная зависимость строк (столбцов). Основная лемма о линейной зависимости, база и ранг системы строк (столбцов). |
| | |
| 5.9.2016 | Система линейных уравнений. Матрица коэффициентов и расширенная матрица системы. Элементарные преобразования. Приведение матриц и систем линейных уравнений к ступенчатому виду. Метод Гаусса. |
| | |