Кафедра высшей алгебры

Теорема Бернсайда о неприводимых матричных алгебрах. Строение групповой алгебры (разложение в прямую сумму матричных). Простота матричной алгебры над телом. Тело кватернионов. Теорема Фробениуса (без доказательства). Конечномерные алгебры с делением над полем комплексных чисел. (n-1)-мерное неприводимое представление симметрической группы степени n (а для знакопеременных оставил в качестве упражнения).

Алгебра эндоморфизмов регулярного представления и её центр. Число неприводимых комплексных представлений. Теорема Бернсайда про неприводимые алгебры (начали доказывать).

Основное свойство регулярного представления. Сумма квадратов размерностей неприводимых представлений. Неприводимые представления симметрической группы степени три и знакопеременной степени четыре. Неприводимые комплексные представления абелевых групп. Одномерные представления конечной группы. Сформулировали теорему о числе неприводимых представлений. Центр групповой алгебры. (Почему эндоморфизмы регулярного есть групповая алгебра, сформулировали но не доказали пока.)

8 декабря (в пятницу) лекция переносится в аудиторию 01 (из-за мехматской юбилейной конференции).

Изоморфизм представлений. Теорема Машке. Гомоморфизмы представлений. Лемма Шура. Регулярное представление и его основное свойство (про гомоморфизмы из регулярного куда-то, недодоказали чуть-чуть).

Автоморфизмы конечных полей. Поле алгебраических чисел алгебраически замкнуто. Упражнение: конечномерное расширение поля нулевой характеристики является простым. Представления (линейные и матричные): примеры, неприводимость, подпредставления, прямая сумма. (Изоморфизма не было в явном виде пока.)

Поле разложение: существование и единственность. Классификация конечных полей. Критерий вложимости для конечных полей. Всякое конечное поле является простым расширением поля вычетов (в частности, над полем вычетов существует неприводимый многочлен любой степени).

Теорема о строении простых расширений. Алгебраические и трансцендентные расширения, примеры. Алгебраичность конечномерных расширений. Теорема о башне расширений. Алгебраические элементы образуют подполе. Поле разложение: существование и единственность (не доказали пока).

Теорема о гомоморфизмах для колец и алгебр. Идеалы в кольце многочленов от одной переменной над полем. Упражнение: Z[x] и C[x,y] — не КГИ. Когда факторкольцо кольца многочленов (от одной переменной) — поле? Явное построение поля из восьми элементов. Простое расширение поля (только определение пока было).

Простота знакопеременных групп. Сопряжённость в знакопеременных группах (в ненужную сторону оставил в качестве упражнения). Неабелевы группы порядка pq существуют тогда и только тогда, когда…. Группы порядка p². Факторгруппа по центру редко бывает циклической. Кольца, поля, тела, гомоморфизмы, идеалы.

Теорема Жордана–Гёльдера. Лемма о соответствии подгрупп при эпиморфизмах. Простоту знакопеременных групп начали доказывать.

Доказали, про порождающие SL и GL. Разрешимые группы: зачем они нужны, их подгруппы и факторгруппы. Какие симметрические группы разрешимы? Образ кратного коммутанта при сюръективном гомоморфизме. Расширение разрешимой группы при помощи разрешимой. Разрешимость конечных пэ-групп и группы треугольных матриц. Простые группы (только определение пока). Композиционный ряд, его существование для конечной группы.

Коллоквиум будет (скорее всего) на неделе, которая начинается 6 ноября. Вопросы к коллоквиуму

Доказали следствие про покрытие сопряжёнными. Коммутаторы и коммутант. Коммутант есть пересечение всех нормальных подгрупп, факторгруппы по которым абелевы. Коммутанты симметрической, знакопеременной, полной и специальной линейной группы (для больших полей). Исключительные случаи оставил как упражнение. Порождение этих групп (для линейных не успели доказать).

Теоремы Силова. Когда силовская подгруппа одна? Группы порядка 15. Лемма Бернсайда о числе орбит. Следствие о покрытии группы сопряжёнными подгруппами (не успели это доказать).

7 октября в субботу будет лекция по алгебре вместо топологии. А в пятницу 13 октября будет лекция по топологии вместо алгебры.

Нетривиальность центра конечной p-группы (ещё раз). Первая теорема Силова (для всех примарных делителей, не только для максимальных). Силовские подгруппы. Вторую теорему Силова (о сопряжённости) сформулировали пока только.

Всё разбивается на не пересекающиеся орбиты. Стабилизатор — подгруппа. Длина орбиты равна индексу стабилизатора. Стабилизаторы точек одной орбиты сопряжены. Действие группы GL(V) на V. Три действия группы на себе и действие на множестве левых смежных классов. Центр, централизатор, классы сопряжённости. Нетривиальность центра конечной p-группы.

Выбор специализации на мехмате. Конечные подгруппы мультипликативной группы поля. Разложение периодической части АГ в прямую сумму p-компонент. Классификация к.п. АГ (с единственностью). Действия: примеры, орбиты.

Упражнение: 10 элементов, порождающую САГ ранга 10, — это всегда базис. Теорема о согласованных базисах и её следствие о разложении к.п. АГ в прямую сумму циклических. Теорема о конечных подгруппах мультипликативной группы поля (только сформулировали пока).

Всякая эн-порождённая АГ изоморфна факторгруппе САГ ранга эн. Инвариантность ранга САГ. Когда данный элемент можно включить в некоторый базис (критерий примитивности). Теорему о подгруппах (о согласованных базисах) сформулировали и начали доказывать. (Вот некоторые вещи.)

Додоказали теорему о нормальной подгруппе конечного индекса внутри любой подгруппы конечного индекса. Прямые произведения —- внутреннее и внешнее определение, связь между ними. Когда прямое произведение циклическое? Факторгруппа прямого произведения по прямому произведению нормальных подгрупп сомножителей. Свободные абелевы группы и базисы. Изоморфизм с прямой суммой бесконечных циклических.

Теорема о гомоморфизмах. Примеры (GL/SL). Группа внутренних автоморфизмов изоморфна факторгруппе по центру и нормальна; группа внешних автоморфизмрв. Любая подгруппа конечного индекса содержит нормальную подгруппу конечного индекса (и индекс не превосходит и даже делит факториал исходного индекса) —- почти доказали.

Описание подгрупп циклических групп. Смежные классы. Теорема Лагранжа. Следствия про порядок элемента, про g^|G| и про группы порядка 17. Обратная теорема к теореме Лагранжа неверна для A₄ — оставил в качестве упражнения. Упражнение: число левых смежных классов всегда равно числу правых. Нормальные подгруппы, сопряжённые подгруппы (сопряжение — автоморфизм). Гомоморфизмы и их ядра, нормальность ядра. Факторгруппа — корректность всего. (Теоремы о гомоморфизмах пока не было.)

Изоморфизм. Группа кватернионов. Подгруппы. Порождающие. Теорема Кэли. Циклические группы. Порядок элемента (почему он равен порядку подгруппы, порождённой им). Классификация циклических групп. Подгруппы циклических групп циклические (а то, что их по одной каждого порядка, пока только сформулировал).

Почему надо в День знаний настроиться на учёбу? Определения и примеры групп. Зачем нужны группы? Группы симметрий всяких вещей. Диэдральные группы и их алгебраическое описание. (Кватернионов не было, подгрупп не было, изморфизмов — тоже; всё это будет в понедельник).

Всё, что первокурсники должны знать про группы, (но я всё это повторяю)