1) А.И. Кострикин. Введение в алгебру.

• Часть I гл. 4
• Часть III

2) Э.Б. Винберг. Курс алгебры.

1) М.И. Каргополов, Ю.И. Мерзляков. Основы теории групп.

2) А.Ю.Ольшанский. Геометрия определяющих соотношений в группах

---

Лекция 1 (1 сентября, пн)

Повторение из 1-го семестра: определение группы, подгруппы, изоморфизма групп, примеры.

Циклические подгруппы. Порядок элемента.

---

Лекция 2 (5 сентября, пт)

Свойства порядка элемента. Система порождающих. Циклические группы.

Смежные классы по подгруппе.

---

Лекция 3 (12 сентября, пт)

Смежные классы по подгруппе. Теорема Лагранжа. Следствия из теоремы Лагранжа. Нормальные подгруппы. Факторгруппы.

Гомоморфизмы. Теорема о гомоморфизме.

---

Лекция 4 (15 сентября, пн)

Теорема о гомоморфизме. Примеры. Любая нормальная подгруппа является ядром некоторого гомоморфизма. Естественный гомоморфизм.

Свободная группа.

---

Лекция 5 (19 сентября, пт)

Универсальное свойство свободной группы. Определяющие соотношения. Теорема Дика.

---

Лекция 6 (26 сентября, пт)

Прямые произведения групп. Z_m ≅ Z_{m_1} ⊕ … ⊕ Z_{m_s}, если m=m_1·…·m_s, где m_1, …, m_s - попарно взаимно простые числа. Связь между внешним и внутренним прямым произведением. Факторизация прямого произведения групп по прямому произведению подгрупп, в частности, по прямым сомножителям.

Лекция 7 (29 сентября, пн)

Конечно порожденные абелевы группы (в аддитивной записи),(целочисленные) линейные комбинации элементов абелевой группы, линейная зависимость, базисы. Свободные абелевы группы.

Основная лемма о линейной зависимости для абелевых групп. Во всех базисах свободной абелевой группы одинаковое число элементов. Ранг свободной абелевой группы. Изоморфизм свободных абелевых групп одного ранга. Подгруппы свободных абелевых групп.

Матрицы перехода от базиса к базису. Целочисленные элементарные матрицы. Целочисленные элементарные преобразования строк и столбцов целочисленной матрицы.

---

Лекция 8 (3 октября, пт)

Лемма о приведении целочисленной матрицы к «диагональному» виду целочисленными элементарными преобразованиями строк и столбцов. Теорема о базисе свободной абелевой группы, согласованном с базисом подгруппы. Следствия. Универсальное свойство свободной абелевой группы. Следствия.

---

Лекция 9 (10 октября, пт)

Основная теорема о конечно порожденных абелевых группах.

Лекция 10 (13 октября, пн)

Окончание доказательства Основной теоремы о конечно порожденных абелевых группах. Экпонента конечной группы. О конечных подгруппах мультипликативной группы поля.

Действие группы на множестве. Определение.

Лекция 11 (17 октября, пт)

Орбиты. Стабилизаторы. Взаимно однозначное соответствие между точками орбиты и смежными классами по стабилизатору, число точек в орбите. Группа вращений куба: её порядок (из транзитивного действия на вершинах куба) и изоморфизм с S_4 (из действия на диагоналях). Стабилизаторы разных точек.

Действие группы на себе. Теорема Кэли.

Группа автоморфизмов. Группа внутренних автоморфизмов. Центр

Лекция 12 (24 октября, пт)

Классы сопряженности. Централизаторы. Центр. Классы сопряженности и центр группы S_n. Центр конечной p-группы. Группы порядка p^2

Теоремы Силова. Доказательство 1-й и 2-й теоремы Силова.

Лекция 13 (27 октября, пн)

Нормализаторы подгрупп. Доказательство 3-й теоремы Силова.

Коммутаторы и коммутант. Связь между коммутантом и нормальными подгруппами, факторгруппы по которым абелевы. Системы порождающих групп A_n, SL_n (F). Коммутанты групп S_n, A_n. Коммутанты групп GL_n (F) и SL_n (F) при |F|>3.

Лекция 14 ( 31 октября, пт)

Кратные коммутанты. Разрешимые группы. Свойства. При каких n группа S_n разрешима? Неразрешимость групп GL_n (F) и SL_n (F) (|F|>3). Разрешимость конечной p-группы, где p,q – простые.

Разрешимость группы невырожденных треугольных матриц над полем. Разрешимость группы порядка pq, где p,q – простые.

Простые группы. Описание простых абелевых групп. Композиционный ряд группы, существование композиционного ряда у конечной группы. Теорема Жордана–Гёльдера (без доказательства).

Лекция 15 (1 ноября, сб)

Простота групп A_n при n≥5. Простота SO_3(R).

Линейные и матричные представления групп. Примеры.

Лекция 16 (7 ноября, пт)

Изоморфные линейные (матричные) представления групп. Инвариантные подпространства. Неприводимые представления

Примеры (группа вещественных чисел, циклическая группа, группа диэдра, S_4 как группа вращений куба, как группа симметрий тетраэдра). Лемма Шура.

Лекция 17 (10 ноября, пн)

ПЛАН

Следствие из леммы Шура.

Одномерные представления конечных абелевых групп. Одномерные представления произвольной группы.

Вполне приводимые представления. Сумма линейных представлений. Любое вполне приводимое представление разлагается в сумму неприводимых. Ортогональные (унитарные) линейные представления. Теорема Машке (доказательство только для вещественного и комплексного случая).