Кафедра высшей алгебры

1) А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры.

2) Э.Б. Винберг. Курс алгебры.

(Пока всё над вещественными числами.)

Матрицы, виды матриц (квадратные, диагональные, единичная, нулевая.)

Системы линейных уравнений (СЛУ) и их решения. Совместные и несовместные, определённые и неопределённые СЛУ. Матрица коэффициентов и расширенная матрица системы.

Элементарные преобразования систем линейных уравнений. Их связь с элементарными преобразованиями над строками расширенной матрицы. Элементарное преобразование приводит к эквивалентной СЛУ.

Метод Гаусса решения СЛУ, начало: ведущие элементы (лидеры) строк матрицы, матрицы ступенчатого вида, приведение матрицы к ступенчатому виду.

1) Продолжение: метод Гаусса, решение ступенчатой СЛУ.

Однородные системы линейных уравнений, их совместность. Однородное СЛУ с числом уравнений меньше числа неизвестных имеет ненулевое решение.

2) Определение векторного пространства (вещественного). Примеры (V^2, R^n).

1) Определение векторного пространства (вещественного). Следствия из аксиом. Линейная комбинация векторов. Линейная зависимость и линейная независимость системы векторов.

2) Свойства линейно зависимых и линейно независимых систем. Критерий линейной зависимости.

1) Свойства линейно зависимых и линейно независимых систем (продолжение). Основная лемма о линейной зависимости.

2) Линейная оболочка системы векторов. Определение множества, порождающего векторное пространство.

3) Определение базиса. Свойства. Всякое конечномерное векторное пространство обладает базисом. Все базисы конечномерного векторного пространства содержат одно и то же число векторов. Определение размерности векторного пространства. Примеры. Всякую линейно независимую систему векторов конечномерного векторного пространства можно дополнить до базиса.

4) Определение ранга системы векторов. Определение ранга матрицы как ранга системы ее строк.

1) Определение ранга матрицы как ранга системы ее строк. Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях над строками. Ранг матрицы ступенчатого вида равен числу ее ненулевых строк. Ранг системы столбцов матрицы не меняется при элементарных преобразованиях над строками. Транспонированная матрица. Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях над столбцами. Ранг системы строк матрицы равен рангу системы ее столбцов.

2) Критерий совместности (теорема Кронекера-Капелли) и критерий определенности СЛАУ в терминах рангов матриц.

Однородные СЛАУ. Пространство решений однородной СЛАУ и его базис (ФСР). Теорема о размерности пространства решений однородной СЛАУ.

1) Пример решения однородной СЛУ. Связь между множествами решений совместной системы линейных уравнений и соответствующей системы однородных линейных уравнений.

2) Операции над матрицами. Относительно сложения и умножения на число множество матриц фиксированного размера образует векторное пространство. Его размерность и стандартный базис. Определение умножения матриц. Умножение матриц не является коммутативным.

3) Линейное отображение. Простейшие свойства. Примеры.

1) Изоморфизм. Отождествление произвольного n-мерного векторного пространства над R с R^n.

2) Матрица линейного отображения относительно данных базисов. Операции над линейными отображениями. Связь с операциями над матрицами.

1) Операции над матрицами. Свойства.

2) Ранг суммы матриц. Ранг произведения матриц.

3) Определение перестановки из n элементов. Инверсии и знак перестановки. Изменение четности перестановки при транспозиции. Число перестановок из n элементов. Число четных перестановок равно числу нечетных перестановок.

Формула полного разложения определителя. Пример определителя 2-го порядка. Определитель как полилинейная кососимметрическая функция строк матрицы.

Элементарные преобразования над строками определителя. Вычисление определителя посредством приведения к треугольному виду.

Определитель транспонированной матрицы.

Элементарные матрицы, их связь с элементарными преобразованиями над строками и столбцами матрицы.

К какому виду можно привести матрицу с помощью элементарных преобразований, если определитель матрицы равен нулю (отличен от нуля)?

Определитель матрицы с углом нулей.

Определитель произведения матриц.

Разложение определителя по строке (столбцу).

Фальшивое разложение. Определитель Вандермонда.

Теорема о ранге матрицы.

Обоснование метода окаймляющих миноров.

Формулы Крамера.

Обратные матрицы.

Определение бинарной операции.

Группоид, полугруппа, моноид, группа. Изоморфизм групп. Группа невырожденных матриц. Группа подстановок.

Разложение подстановок на независимые циклы, на транспозиции. Четность подстановки.

Подгруппы. Примеры.

Определение кольца, поля. Простейшие свойства.

Кольцо вычетов по модулю n. Когда кольцо вычетов является поле ? (ссылка на построение и доказанные утверждения в курсе теории чисел).

Характеристика поля. Свойства.

Перенос теории линейных уравнений, векторов, матриц и определителей с поля R на произвольное поле.

Поле комплексных чисел. Аксиоматическое определение. Теорема существования поля комплексных чисел и единственности с точности до изоморфизма, оставляющего все вещественные числа не месте.

(часть лекции пропало из-за задымления)

Геометрическая интерпретация комплексных чисел как точек или векторов на координатной плоскости. Геометрический смысл операций сложения и вычитания комплексных чисел. Модуль комплексного числа и сопряжённое число, их геометрический смысл, свойства операции сопряжения. Деление комплексных чисел в алгебраической форме.

Аргумент комплексного числа, его главная ветвь. Тригонометрическая форма записи комплексных чисел, её экспоненциальная версия. Свойства модуля и аргумента комплексного числа, умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической форме, геометрический смысл этих операций, формула Муавра.

Извлечение корней из комплексных чисел.

Алгебра над полем. Определение. Примеры.

Алгебра многочленов над полем. Свойства степеней. Деление с остатком. Над бесконечным полем разным многочленам соответствуют разные функции.

Корни многочлена. Кратность.

Основная теорема алгебры комплексных чисел. Следствия. Разложение на множители над полем вещественных чисел.

Многочлены от нескольких переменных. Симметрические многочлены. Основная теорема о симметрических многочленах (доказательство существования).

Основная теорема о симметрических многочленах (доказательство единственности). Формулы Виета.

Целостное кольцо. Определение деления элемента на элемент, ассоциированные элементы. Евклидовы кольца. Алгоритм Евклида. Простые элементы.

ПЛАН

Теорема о разложении на простые множители. Следствия.

Поле рациональных дробей.