Кафедра высшей алгебры

207 – 11 января 15:00 447

208 – без консультации;

209 – 10 января 15:00 447

210 – 4 января 17:00 12-08

211 – 8 января 15:00 14-13

212 – 4 января 17:00 12-08

109 – 4 января 16:00 12-26а

141 – 5 января 15:00 14-13

Аудитории уточняются, скорее всего будут ваши обычные.

Программа коллоквиума

Лекции в мехматском зуме читаются, к сожалению.

Алгебра эндоморфизмов регулярного представления, центр групповой алгебры и теорема о числе неприводимых комплексных представлений. Теорема Бернсайда о неприводимых матричных алгебрах (и её следствия для групп).

Эпиморфизм из S_4 в S_3 построили (аж тремя способами). Алгебра эндоморфизмов представления и её центр (для комплексного случая).

Основное свойство регулярного представления доказали. Теорема о сумме квадратов. Единственность разложения в сумму неприводимых (над C). Представления S_3 и S_4. Число одномерных комплексных представлений конечной группы.

Гомоморфизмы представлений, их описание на матричном языке и поведение относительно сумм представлений. Лемма Шура (и случай комплексных неприводимых). Регулярное представление, явный пример для S_3. Основное свойство регулярных представлений («свободность ранга один») сформулировать успели только пока.

Доказали теорему Машке. (Однозначность разложения на неприводимые оставил в качестве упражнения). Полная приводимость (которая определялась, как прямая сумма неприводимых) эквивалентна тому, что каждое инвариантное подпространство имеет инвариантное дополнение. Неприводимые комплексные представления абелевой группы одномерны, и их число равно порядку группы (если он конечен). Явный вид неприводимых комплексных представлений элементарной абелевой группы порядка четыре, и явный вид двумерных представлений этой группы.

Критерий вложимости для конечных полей. Простота полной матричной алгебры над полем. Представления групп: примеры, неприводимость и полная приводимость. Теорема Машке (только формулировка и идея доказательства пока).

Существование и единственность поля разложения многочлена. Классификация конечных полей. Конечные подгруппы мультипликативной группы поля. Всякое конечное поле является простым расширением простого поля. Явное построение поля из четырёх элементов.

Расширения полей. Теорема о башне расширений. Алгебраические и трансцендентные элементы. Структура простых расширений. Алгебраические числа образуют подполе. Существует ли поле из ста элементов? Поле разложения многочлена (только определение пока).

Идеалы в кольцах и в алгебрах. Гомоморфизмы колец и алгебр. Теорема о гомоморфизмах для колец и алгебр. Идеалы в кольце целых чисел и в кольце многочленов от одной переменной над полем главные. Когда факторалгебра кольца многочленов (от одной переменной над полем) является полем?

Теорему Жордана–Гёльдера додоказали. Решили по просьбе учащихся упражнение с прошлого раза про факторгруппу произведения двух нормальных подгрупп по их пересечению. Лемма Бернсайда о срелнем числе неподвижных точек действия. Следствие о покрытии конечной группы сопряжёнными подгруппами. Упражнение: если группа действует на конечном множестве, и каждый неединичный элемент имеет единственную неподвижную точку, то эта точка общая для всех. Кольца, алгебры, тела, поля — определения и примеры.

Простота знакопеременной группы (и порождённость тройными циклами). Упражнение: неабелевы группы порядка меньше шестидесяти непросты. Композиционные ряды, существование (для конечных групп). Теорема Жордана–Гёльдера (чуть-чуть не додоказали).

Расширение разрешимой группы при помощи разрешимой. Разрешимость конечных р-групп и группы треугольных матриц. Коммутант полной и специальной линейной группы для достаточно большого поля. Простые группы. Простоту знакопеременной группы начали доказывать.

Центр конечной р-группы и порядки подгрупп конечных р-групп. Коммутант и коммутаторы. Коммутант — наименьшая нормальная подгруппа, факторгруппа по которой абелева. Разрешимые группы, их подгруппы и факторгруппы.

Теоремы Силова доказали. Всякая p-подгруппа содержится в силовской.

Действие группы на множестве: разбиение на орбиты, стабилизаторы, длина орбиты = индекс стабилизатора, стабилизаторы точек одной орбиты. Силовские подгруппы. Централизаторы и центр. Первую теорему Силова начали доказывать.

Додоказали единственность разложения в прямую сумму бесконечных и примарных циклических. Разобрали по просьбе учащихся упражнение 2 из записок (ниже смотрите). Действия групп на множествах: определение и примеры. Орбиты (сформулировали, что не пересекаются, но не доказали пока).

Додоказали критерий примитивности. Теорему о подгруппах свободных абелевых групп доказали. Теорему о строении конечно порождённых абелевых групп доказали без единственности. Единственность начали доказывать (инвариантность числа бесконечных слагаемых объяснили только пока).

Особенности выбора научной специализации на мехмате. По просьбе учащихся доказали то, что было оставлено в качестве упражнения: в конечной циклической группе есть ровно одна подгруппа каждого порядка, делящего порядок группы. Инвариантность ранга. Теорему о подгруппах свободных абелевых групп (о согласованных базисах) пока только сформулировали. Начали доказывать критерий примитивности элемента свободной абелевой группы. Вот основные вещи.

Додоказали теорему про нормальную подгруппу внутри данной. Теорема Кэли. Прямое произведение (внутреннее и внешнее и их связь). Когда прямая сумма циклических групп данных порядков является циклической группой? Свободные абелевы (конечно порождённые) группы. Базис.

Факторгруппа, примеры. Теорема о гомоморфизмах, примеры. Критерий инъетивности гомоморфизма. Подгруппа нормальна тогда и только тогда, когда она ядро некоторого гомоморфизма. Нормальное замыкание и сердцевина подгруппы. Почти доказали, что каждая подгруппа конечного индекса содержит нормальную подгруппу конечного индекса (не превосходящего факториал исходного индекса (и даже делящего его)).

Порождающие групп и подгрупп. Циклические группы и их классификация. Смежные классы, индекс и теорема Лагранжа. Нормальные подгруппы. Гомоморфизмы, ядро и образ (нормальность ядра не успел доказать пока).

Группы симметрий разных структур. Группы автоморфизмов полей и групп. Группа диэдра и её алгебраическое описание. Группа кватернионов. Изоморфизм групп.

Содержание курса. Группы. Примеры (ни кватернионов, ни диэдральных групп не было, но будут потом). Подгруппы. Критерий того, что подмножество является подгруппой.

Всё, что первокурсники должны знать про группы, (но я всё это повторяю)