Кафедра высшей алгебры

Вы посетили: » лекции_1_курс_3_поток_осень_2016



      

1-й курс, 3-й поток. Алгебра: лекции (В.Т.Марков)

Конспект лекцийCписок вопросов к экзамену.

ДатаСодержание лекции
5.12.2016Симметрические многочлены. Монотонность старшего члена симметрического многочлена. Существование и единственность представления симметрического многочлена в виде многочлена от элементарных симметрических многочленов. Формулы Виета.
28.11.2016Доказательство теоремы Штурма. Кольцо многочленов от нескольких переменных. Лексикографический порядок на одночленах. Старший член произведения.
25.11.2016Границы корней многочлена. Теорема Декарта. Система Штурма. Теорема Штурма. Построение стандартной системы Штурма с помощью последовательного деления с остатком (доказательства отложены до следующей лекции).
22.11.2016Интерполяционный многочлен, формула Лагранжа и метод Ньютона для его построения. Поле рациональных дробей. Простейшие дроби. Разложение правильной дроби в сумму простейших дробей, случай вещественного и комплексного полей.
21.11.2016Алгебраическая замкнутость поля комплексных чисел. Неприводимые многочлены над полями комплексных и действительных чисел.
14.11.2016Неприводимые многочлены. Факториальность кольца многочленов и кольца целых чисел. Многочлен как функция. Схема Горнера. Корни многочлена, кратность корня. Понижение кратности корня при дифференцировании, избавление от кратных корней.
8.11.2016Кольцо многочленов от одной переменной над полем. Возможность и единственность деления на ненулевой многочлен с остатком. Наибольший общий делитель двух многочленов, его выражение через многочлены, алгоритм Евклида.
7.11.2016Поле комплексных чисел. Комплексная плоскость. Модуль и аргумент комплексного числа. Алгебраическая и тригонометрическая форма записи комплексных чисел. Операция сопряжения комплексных чисел и ее свойства. Формула Муавра. Корни целой степени из комплексного числа. Группа комплексных корней из единицы.
31.10.2016Нормальные подгруппы и фактор-группы (окончание предыдущей лекции). Определение кольца. Примеры колец. Кольцо вычетов. Обратимые элементы и делители нуля в кольцах. Определение поля. Когда кольцо вычетов является полем? Классификация конечных полей (без доказательства).
25.10.2016Циклические группы. Порядок элемента. Подгруппы циклических групп. Изоморфизм циклических групп одного порядка. Теорема Кэли. Смежные классы, теорема Лагранжа и ее следствия.
24.10.2016Определение группы. Примеры групп. Конечные и бесконечные группы, абелевы группы. Подгруппы. Гомоморфизмы и изоморфизмы групп.
17.10.2016Ранг произведения матриц. Факторизационный ранг матрицы. Матричная запись системы линейных уравнений. Строение общего решения неоднородной системы уравнений, его геометрическая интерпретация
11.10.2016Матричные единицы. Элементарные матрицы и элементарные преобразования. Определитель произведения матриц. Нахождение обратной матрицы с помощью элементарных преобразований.
10.10.2016Операции над матрицами и их свойства. Обобщенная ассоциативность. Транспонирование произведения матриц. Умножение матрицы на диагональную матрицу слева и справа. Единичная матрица, ее единственность. Скалярные матрицы. Обратная матрица, ее единственность. Критерий существования и формула вычисления элементов обратной матрицы.
27.09.2016Миноры прямоугольной матрицы. Теорема об окаймляющих минорах. Вычисление ранга матрицы с помощью миноров (теорема о ранге матрицы).
26.9.2016Определитель матрицы с углом нулей. Определитель Вандермонда. Миноры и алгебраические дополнения элементов. Разложение определителя по строке (столбцу). Лемма о “фальшивом” разложении определителя. Формулы Крамера для решения определенных квадратных систем линейных уравнений.
21.9.2016Определитель квадратной матрицы, его основные свойства (линейность, кососимметричность, определитель транспонированной матрицы). Изменение определителя при элементарных преобразованиях строк (столбцов) матрицы. Определитель треугольной матрицы. Критерий равенства определителя нулю.
19.9.2016Группа подстановок конечного множества, знак подстановки (четность), знакопеременная группа, разложение подстановки в произведение транспозиций и независимых циклов.
13.9.2016Ранг матрицы. Критерий совместности и определенности системы линейных уравнений в терминах рангов матриц. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений.
12.9.2016Линейная зависимость строк (столбцов). Основная лемма о линейной зависимости, база и ранг системы строк (столбцов).
5.9.2016Система линейных уравнений. Матрица коэффициентов и расширенная матрица системы. Элементарные преобразования. Приведение матриц и систем линейных уравнений к ступенчатому виду. Метод Гаусса.