Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- лекции_1_курс_3_поток_осень_2024 [20.09.2024 08:41]
markova
+++ лекции_1_курс_3_поток_осень_2024 [08.04.2025 16:43] (текущий)
@@ Строка 26: / Строка 26: @@
-**{{:courses:1курс3поток2023программа_1_.pdf|Примерная программа экзамена (вариант 2023г.)}}**
+**{{:courses:1курс3поток2024программа.pdf|Программа экзамена}}**
+**{{:staff:markova:вопросы_к_коллоквиуму_2024.pdf|Вопросы к коллоквиуму.}}
+**
 **Планируемые темы лекций:**
@@ Строка 34: / Строка 37: @@
-№2 (11.09.2023) Линейная зависимость строк (столбцов). Основная лемма о линейной зависимости, база и ранг системы строк (столбцов).
+№2 (11.09.2024) Линейная зависимость строк (столбцов). Основная лемма о линейной зависимости, база и ранг системы строк (столбцов).
+№3 (16.09.2024) Ранг матрицы: определения строчного и столбцового рангов матрицы. Критерий совместности и определенности системы линейных уравнений в терминах рангов матриц (теорема Кронекера-Капелли).
+№4 (23.09.2024) Фундаментальная система решений однородной системы уравнений. Группа подстановок конечного множества, знак подстановки (четность).
+№5 (26.09.2024) Чётность и знак подстановки. Разложение подстановки в произведение транспозиций. Знак произведения подстановок.
+Определитель квадратной матрицы, определители малых порядков.
+№6 (30.09.2024) Основные свойства определителя (линейность, кососимметричность). Изменение определителя при элементарных преобразованиях строк (столбцов) матрицы. Определитель транспонированной матрицы. Определитель треугольной матрицы. Критерий равенства определителя нулю. Определитель матрицы с углом нулей.
+№7 (07.10.2024) Определитель Вандермонда. Миноры и алгебраические дополнения элементов. Разложение определителя по строке(столбцу). Лемма о “фальшивом” разложении определителя. Формулы Крамера для решения определенных квадратных систем линейных уравнений. Миноры прямоугольной матрицы. Теорема об окаймляющих минорах (не все успели доказать).
+№8 (10.10.2024) Теорема об окаймляющих минорах. Вычисление ранга матрицы с помощью миноров (теорема о ранге матрицы). Операции над матрицами и их свойства.
+№9 (14.10.2024) Обобщенная ассоциативность. Транспонирование произведения матриц. Умножение матрицы на диагональную матрицу слева и справа. Единичная матрица, ее единственность. Скалярные матрицы. Обратная матрица, ее единственность. Критерий существования и формула вычисления элементов обратной матрицы.
+№10 (21.10.2024)  Умножение треугольных матриц. Матричные единицы и их умножение. Элементарные матрицы и их связь с элементарными преобразованиями. Определитель произведения матриц. Нахождение обратной матрицы с помощью элементарных преобразований.
+№11 (24.10.2024) Ранг суммы и произведения матриц. Факторизационный ранг матрицы. Матрицы ранга 1. Матричная запись системы линейных уравнений. Строение общего решения неоднородной системы уравнений, его геометрическая интерпретация.
+№12 (28.10.2024) Определение группы. Примеры групп. Конечные и бесконечные группы, абелевы группы. Подгруппы. Гомоморфизмы и изоморфизмы групп.
+Циклические группы. Порядок элемента. Подгруппы циклических групп. Изоморфизм циклических групп одного порядка. Теорема Кэли. Смежные классы, теорема Лагранжа и ее следствия.
+№13 (7.11.2024) Основные алгебраические структуры: кольца, поля.
+№14 (11.11.2024) Поле комплексных чисел. Комплексная плоскость. Модуль и аргумент комплексного числа. Алгебраическая и тригонометрическая форма записи комплексных чисел. Операция сопряжения комплексных чисел и ее свойства. Формула Муавра. Корни целой степени из комплексного числа.
+№15 (18.11.2024) Группа комплексных корней из единицы. Кольцо многочленов от одной переменной над полем. Возможность и единственность деления на ненулевой многочлен с остатком.
+№16 (21.11.2024)  Наибольший общий делитель двух многочленов, его линейное выражение через многочлены, алгоритм Евклида. Неприводимые многочлены. Факториальность кольца многочленов.
+№17 (25.11.2024) Многочлен как функция. Схема Горнера. Корни многочлена, кратность корня. Понижение кратности корня при дифференцировании, избавление от кратных корней. Задача интерполяции.
+№18 (02.12.2024) Алгебраическая замкнутость поля комплексных чисел (пока без доказательства, планируется дать доказательство на последней лекции). Неприводимые многочлены над полями комплексных и действительных чисел. Поле рациональных дробей. Простейшие дроби. Разложение правильной дроби в сумму простейших дробей, случай вещественного и комплексного полей.
+№19 (05.12.2024) Границы корней многочлена. Теорема Декарта (без доказательства). Метод Штурма отделения вещественных корней многочлена.
+№20 (09.12.2024) Кольцо многочленов от нескольких переменных. Лексикографический порядок на одночленах. Старший член произведения многочленов. Симметрические многочлены, их выражение через элементарные симметрические многочлены, формулы Виета.
-№3 (16.09.2023) Ранг матрицы: определения строчного и столбцового рангов матрицы. Критерий совместности и определенности системы линейных уравнений в терминах рангов матриц (теорема Кронекера-Капелли).