Лекции, алгебра, 1 курс, 3 поток, осень 2024 года
Лектор: Маркова Ольга Викторовна
Лекции проходят по понедельникам на 3-й паре (13:15-14:50) и по четвергам на 4-й паре каждой чётной (нижняя неделя в расписании) неделе (15:00-16:35) в аудитории 16-24.
Литература:
- Винберг Э.Б. Курс алгебры. М., Факториал Пресс, 2002.
- Кострикин А.И. Введение в алгебру. Т.1. Основы алгебры. М., Физико-математическая литература, 2002.
- Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М., Наука, 1975.
- Михалев А.А., Михалев А.В. Начала алгебры, часть 1. М., ИУИТ, 2005.
Для дальнейшего изучения различных разделов алгебры можно рекомендовать книги:
- Бахтурин Ю.А. Основные структуры современной алгебры. М., Наука, 1990.
- Ван дер Варден Б.Л. Алгебра. М., Наука, 1976.
- Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М., 2004.
- Ленг С. Алгебра. М., Мир, 1968.
Материалы:
Планируемые темы лекций:
№1 (09.09.2024) Общая структура курса. Система линейных уравнений. Матрица коэффициентов и расширенная матрица системы. Приведение матриц и систем линейных уравнений к ступенчатому и улучшенному ступенчатому видам. Метод Гаусса.
№2 (11.09.2024) Линейная зависимость строк (столбцов). Основная лемма о линейной зависимости, база и ранг системы строк (столбцов).
№3 (16.09.2024) Ранг матрицы: определения строчного и столбцового рангов матрицы. Критерий совместности и определенности системы линейных уравнений в терминах рангов матриц (теорема Кронекера-Капелли).
№4 (23.09.2024) Фундаментальная система решений однородной системы уравнений. Группа подстановок конечного множества, знак подстановки (четность).
№5 (26.09.2024) Чётность и знак подстановки. Разложение подстановки в произведение транспозиций. Знак произведения подстановок. Определитель квадратной матрицы, определители малых порядков.
№6 (30.09.2024) Основные свойства определителя (линейность, кососимметричность). Изменение определителя при элементарных преобразованиях строк (столбцов) матрицы. Определитель транспонированной матрицы. Определитель треугольной матрицы. Критерий равенства определителя нулю. Определитель матрицы с углом нулей.
№7 (07.10.2024) Определитель Вандермонда. Миноры и алгебраические дополнения элементов. Разложение определителя по строке(столбцу). Лемма о “фальшивом” разложении определителя. Формулы Крамера для решения определенных квадратных систем линейных уравнений. Миноры прямоугольной матрицы. Теорема об окаймляющих минорах (не все успели доказать).
№8 (10.10.2024) Теорема об окаймляющих минорах. Вычисление ранга матрицы с помощью миноров (теорема о ранге матрицы). Операции над матрицами и их свойства.
№9 (14.10.2024) Обобщенная ассоциативность. Транспонирование произведения матриц. Умножение матрицы на диагональную матрицу слева и справа. Единичная матрица, ее единственность. Скалярные матрицы. Обратная матрица, ее единственность. Критерий существования и формула вычисления элементов обратной матрицы.
№10 (21.10.2024) Умножение треугольных матриц. Матричные единицы и их умножение. Элементарные матрицы и их связь с элементарными преобразованиями. Определитель произведения матриц. Нахождение обратной матрицы с помощью элементарных преобразований.
№11 (24.10.2024) Ранг суммы и произведения матриц. Факторизационный ранг матрицы. Матрицы ранга 1. Матричная запись системы линейных уравнений. Строение общего решения неоднородной системы уравнений, его геометрическая интерпретация.
№12 (28.10.2024) Определение группы. Примеры групп. Конечные и бесконечные группы, абелевы группы. Подгруппы. Гомоморфизмы и изоморфизмы групп. Циклические группы. Порядок элемента. Подгруппы циклических групп. Изоморфизм циклических групп одного порядка. Теорема Кэли. Смежные классы, теорема Лагранжа и ее следствия.
№13 (7.11.2024) Основные алгебраические структуры: кольца, поля.
№14 (11.11.2024) Поле комплексных чисел. Комплексная плоскость. Модуль и аргумент комплексного числа. Алгебраическая и тригонометрическая форма записи комплексных чисел. Операция сопряжения комплексных чисел и ее свойства. Формула Муавра. Корни целой степени из комплексного числа.
№15 (18.11.2024) Группа комплексных корней из единицы. Кольцо многочленов от одной переменной над полем. Возможность и единственность деления на ненулевой многочлен с остатком.
№16 (21.11.2024) Наибольший общий делитель двух многочленов, его линейное выражение через многочлены, алгоритм Евклида. Неприводимые многочлены. Факториальность кольца многочленов.
№17 (25.11.2024) Многочлен как функция. Схема Горнера. Корни многочлена, кратность корня. Понижение кратности корня при дифференцировании, избавление от кратных корней. Задача интерполяции.
№18 (02.12.2024) Алгебраическая замкнутость поля комплексных чисел (пока без доказательства, планируется дать доказательство на последней лекции). Неприводимые многочлены над полями комплексных и действительных чисел. Поле рациональных дробей. Простейшие дроби. Разложение правильной дроби в сумму простейших дробей, случай вещественного и комплексного полей.
№19 (05.12.2024) Границы корней многочлена. Теорема Декарта (без доказательства). Метод Штурма отделения вещественных корней многочлена.
№20 (09.12.2024) Кольцо многочленов от нескольких переменных. Лексикографический порядок на одночленах. Старший член произведения многочленов. Симметрические многочлены, их выражение через элементарные симметрические многочлены, формулы Виета.