|
Следующая версия
|
Предыдущая версия
|
лекции_2_курс_фммф_весна_2026 [07.02.2026 12:36]
timashev создано |
лекции_2_курс_фммф_весна_2026 [23.03.2026 12:38] (текущий)
timashev |
| **Лектор:** [[staff:timashev|Д.А.Тимашёв]] | **Лектор:** [[staff:timashev|Д.А.Тимашёв]] |
| |
| Лекции читаются **по понедельникам** //еженедельно// на **2**-й паре (10:45-12:20) и **по пятницам** на каждой //нечётной// неделе на **1**-й паре (9:00-10:45) а ауд. **12-08**. | Лекции читаются **по понедельникам** //еженедельно// на **2**-й паре (10:45-12:20) и **по пятницам** на каждой //чётной// неделе на **1**-й паре (9:00-10:45) а ауд. **12-08**. |
| |
| == Литература: == | == Литература: == |
| - Ж.-П. Серр. Линейные представления конечных групп. | - Ж.-П. Серр. Линейные представления конечных групп. |
| - D.J.H. Garling. Clifford algebras. An introduction. | - D.J.H. Garling. Clifford algebras. An introduction. |
| | - Сборник задач по алгебре под ред. А.И.Кострикина. |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 9 февраля 2026 === |
| | |
| | == Лекция 1 == |
| | |
| | __Кольца__ и __алгебры__ (//напоминание//): определение, типы колец и алгебр, примеры. __Идеалы__ в кольцах и алгебрах (левые, правые, двусторонние), факторкольца и факторалгебры. Гомоморфизмы колец и алгебр, их ядра и образы, основная теорема о гомоморфизмах колец и алгебр. |
| | |
| | __Модули__ над ассоциативными кольцами и алгебрами (левые, правые, бимодули): определение, примеры (в том числе: векторные пространства = модули над полем, абелевы группы = модули над $\mathbb{Z}$, регулярный бимодуль). Подмодули и фактормодули. Гомоморфизмы модулей, их ядра и образы, основная теорема о гомоморфизмах модулей. __Прямая сумма__ колец и алгебр, её интерпретация как прямой суммы идеалов. |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 13 февраля 2026 === |
| | |
| | == Лекция 2 == |
| | |
| | Прямая сумма модулей, её универсальное свойство. __Тензорное произведение__ модулей: определение через универсальное свойство, существование и единственность, структура бимодуля. |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 16 февраля 2026 === |
| | |
| | == Лекция 3 == |
| | |
| | Свойства тензорного произведения: тензорное умножение на регулярный модуль, дистрибутивность относительно прямых сумм, ассоциативность. Полилинейные отображения модулей, универсальное свойство тензорного произведения по отношению к полилинейным отображениям. Тензорное произведение векторных пространств, его базис и размерность. Расширение скаляров. |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 27 февраля 2026 === |
| | |
| | == Лекция 4 == |
| | |
| | Пространства полилинейных функций и тензоров на векторном пространстве. Тензорное произведение колец и алгебр. |
| | |
| | __Линейные представления__ математических структур (множеств, векторных пространств, ассоциативных алгебр, групп, … ), их матричная реализация в конечномерном случае. Инвариантные подпространства, подпредставления и факторпредставления. Прямая сумма линейных представлений. __Приводимые__, __неприводимые__ и __вполне приводимые__ представления. |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 2 марта 2026 === |
| | |
| | == Лекция 5 == |
| | |
| | Подпредставление вполне приводимого представления вполне приводимо. Разложение вполне приводимого конечномерного представления в прямую сумму неприводимых представлений. __Гомоморфизмы__, __эндоморфизмы__ и __изоморфизмы__ линейных представлений. Изоморфные линейные представления соответствуют эквивалентным матричным представлениям. __Лемма Шура__ о гомоморфизмах и эндоморфизмах неприводимых линейных представлений. __Кратности__ неприводимых представлений в разложении вполне приводимого представления на неприводимые слагаемые и __изотипные компоненты__, их единственность и структура. |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 13 марта 2026 === |
| | |
| | == Лекция 6 == |
| | |
| | Конечномерные ассоциативные алгебры, эквивалентность понятия линейного представления и модуля над алгеброй. Нильпотентные алгебры, __радикал__. Радикал алгебры совпадает с пересечением ядер её неприводимых представлений. Стандартное скалярное умножение на конечномерной ассоциативной алгебре, его свойства, связь с радикалом. |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 16 марта 2026 === |
| | |
| | == Лекция 7 == |
| | |
| | __Полупростые__ ассоциативные алгебры, пример: простые алгебры с ненулевым умножением, в частности, алгебры матриц над конечномерными алгебрами с делением. Разложение полупростой алгебры в прямую сумму простых алгебр. __Теорема Бернсайда__ об образе конечномерной ассоциативной алгебры при неприводимом представлении. __Теорема Веддербёрна__ о структуре простых конечномерных ассоциативных алгебр. |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 23 марта 2026 === |
| | |
| | == Лекция 8 == |
| | |
| | __Теорема Веддербёрна-Артина__ о структуре полупростых конечномерных ассоциативных алгебр. Полная приводимость представлений полупростых алгебр, описание неприводимых представлений, их количество и сумма квадратов размерностей. |
| | |
| | Линейные представления групп, примеры: представления циклических групп, __мономиальное представление__ симметрической группы, представление аддитивной группы $\mathbb{R}$ вращениями евклидовой плоскости, представление в пространстве функций на множестве с действием группы. Теоретико-представленческие конструкции: __сопряжённое представление__. |
