Лектор: Д.А.Тимашёв

Лекции читаются по понедельникам еженедельно на 2-й паре (10:45-12:20) и по пятницам на каждой чётной неделе на 1-й паре (9:00-10:45) а ауд. 12-08.

1. Ю.А. Бахтурин. Основные структуры современной алгебры.
2. Б.Л. Ван дер Варден. Алгебра.
3. Э.Б. Винберг. Линейные представления групп.
4. Э.Б. Винберг. Курс алгебры.
5. А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть III. Основные структуры алгебры.
6. И. Ламбек. Кольца и модули.
7. С. Ленг. Алгебра.
8. Ж.-П. Серр. Линейные представления конечных групп.
9. D.J.H. Garling. Clifford algebras. An introduction.
10. Сборник задач по алгебре под ред. А.И.Кострикина.

Кольца и алгебры (напоминание): определение, типы колец и алгебр, примеры. Идеалы в кольцах и алгебрах (левые, правые, двусторонние), факторкольца и факторалгебры. Гомоморфизмы колец и алгебр, их ядра и образы, основная теорема о гомоморфизмах колец и алгебр.

Модули над ассоциативными кольцами и алгебрами (левые, правые, бимодули): определение, примеры (в том числе: векторные пространства = модули над полем, абелевы группы = модули над $\mathbb{Z}$, регулярный бимодуль). Подмодули и фактормодули. Гомоморфизмы модулей, их ядра и образы, основная теорема о гомоморфизмах модулей. Прямая сумма колец и алгебр, её интерпретация как прямой суммы идеалов.

Прямая сумма модулей, её универсальное свойство. Тензорное произведение модулей: определение через универсальное свойство, существование и единственность, структура бимодуля.

Свойства тензорного произведения: тензорное умножение на регулярный модуль, дистрибутивность относительно прямых сумм, ассоциативность. Полилинейные отображения модулей, универсальное свойство тензорного произведения по отношению к полилинейным отображениям. Тензорное произведение векторных пространств, его базис и размерность. Расширение скаляров.

Пространства полилинейных функций и тензоров на векторном пространстве. Тензорное произведение колец и алгебр.

Линейные представления математических структур (множеств, векторных пространств, ассоциативных алгебр, групп, … ), их матричная реализация в конечномерном случае. Инвариантные подпространства, подпредставления и факторпредставления. Прямая сумма линейных представлений. Приводимые, неприводимые и вполне приводимые представления.

Подпредставление вполне приводимого представления вполне приводимо. Разложение вполне приводимого конечномерного представления в прямую сумму неприводимых представлений. Гомоморфизмы, эндоморфизмы и изоморфизмы линейных представлений. Изоморфные линейные представления соответствуют эквивалентным матричным представлениям. Лемма Шура о гомоморфизмах и эндоморфизмах неприводимых линейных представлений. Кратности неприводимых представлений в разложении вполне приводимого представления на неприводимые слагаемые и изотипные компоненты, их единственность и структура.

Конечномерные ассоциативные алгебры, эквивалентность понятия линейного представления и модуля над алгеброй. Нильпотентные алгебры, радикал. Радикал алгебры совпадает с пересечением ядер её неприводимых представлений. Стандартное скалярное умножение на конечномерной ассоциативной алгебре, его свойства, связь с радикалом.

Полупростые ассоциативные алгебры, пример: простые алгебры с ненулевым умножением, в частности, алгебры матриц над конечномерными алгебрами с делением. Разложение полупростой алгебры в прямую сумму простых алгебр. Теорема Бернсайда об образе конечномерной ассоциативной алгебры при неприводимом представлении. Теорема Веддербёрна о структуре простых конечномерных ассоциативных алгебр.

Теорема Веддербёрна-Артина о структуре полупростых конечномерных ассоциативных алгебр. Полная приводимость представлений полупростых алгебр, описание неприводимых представлений, их количество и сумма квадратов размерностей.

Линейные представления групп, примеры: представления циклических групп, мономиальное представление симметрической группы, представление аддитивной группы $\mathbb{R}$ вращениями евклидовой плоскости, представление в пространстве функций на множестве с действием группы. Теоретико-представленческие конструкции: сопряжённое представление.

Теоретико-представленческие конструкции: ограничение линейного представления на подгруппу, тензорное произведение линейных представлений. Неприводимость представления сохраняется при переходе к сопряжённому представлению. Неприводимые представления прямого произведения групп над алгебраически замкнутым полем. Одномерные представления групп, их структура. Неприводимые представления абелевых групп над алгебраически замкнутым полем одномерны. Описание одномерных комплексных представлений конечных групп. Пример: одномерные представления группы $S_n$. Пример не вполне приводимого линейного представления группы.

Ортогональные и унитарные линейные представления, их полная приводимость.

Групповая алгебра. Биекция между линейными представлениями группы и её групповой алгебры. Регулярное представление группы. Полупростота групповой алгебры конечной группы над полем нулевой характеристики и полная приводимость линейных представлений (теорема Машке). Количество и сумма квадратов размерностей неприводимых комплексных представлений конечной группы.

Матричные элементы линейных представлений, независимость пространства матричных элементов от выбора базиса. Разложение пространства $\mathbb{C}$-значных функций на конечной группе в прямую сумму пространств матричных элементов неприводимых представлений. Центральные функции и характеры линейных представлений, свойства характеров.

Характеры неприводимых комплексных представлений образуют ортонормированный базис пространства центральных функций на конечной группе. Вычисление кратности неприводимого представления как скалярного произведения характеров, скалярный квадрат характера равен сумме квадратов кратностей. Однозначная определяемость линейного представления своим характером. Мономиальное представление группы $S_n$, его характер и разложение в прямую сумму тривиального одномерного представления и стандартного $(n-1)$-мерного неприводимого представления. Описание неприводимых представлений группы $S_n$ при $n\le4$. Таблица характеров неприводимых представлений группы $S_4$.