Лектор: Д.А.Тимашёв

Лекции читаются по понедельникам еженедельно на 2-й паре (10:45-12:20) и по пятницам на каждой чётной неделе на 1-й паре (9:00-10:45) а ауд. 12-08.

1. Ю.А. Бахтурин. Основные структуры современной алгебры.
2. Б.Л. Ван дер Варден. Алгебра.
3. Э.Б. Винберг. Линейные представления групп.
4. Э.Б. Винберг. Курс алгебры.
5. А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть III. Основные структуры алгебры.
6. И. Ламбек. Кольца и модули.
7. С. Ленг. Алгебра.
8. Ж.-П. Серр. Линейные представления конечных групп.
9. D.J.H. Garling. Clifford algebras. An introduction.
10. Сборник задач по алгебре под ред. А.И.Кострикина.

Кольца и алгебры (напоминание): определение, типы колец и алгебр, примеры. Идеалы в кольцах и алгебрах (левые, правые, двусторонние), факторкольца и факторалгебры. Гомоморфизмы колец и алгебр, их ядра и образы, основная теорема о гомоморфизмах колец и алгебр.

Модули над ассоциативными кольцами и алгебрами (левые, правые, бимодули): определение, примеры (в том числе: векторные пространства = модули над полем, абелевы группы = модули над $\mathbb{Z}$, регулярный бимодуль). Подмодули и фактормодули. Гомоморфизмы модулей, их ядра и образы, основная теорема о гомоморфизмах модулей. Прямая сумма колец и алгебр, её интерпретация как прямой суммы идеалов.

Прямая сумма модулей, её универсальное свойство. Тензорное произведение модулей: определение через универсальное свойство, существование и единственность, структура бимодуля.

Свойства тензорного произведения: тензорное умножение на регулярный модуль, дистрибутивность относительно прямых сумм, ассоциативность. Полилинейные отображения модулей, универсальное свойство тензорного произведения по отношению к полилинейным отображениям. Тензорное произведение векторных пространств, его базис и размерность. Расширение скаляров.

Пространства полилинейных функций и тензоров на векторном пространстве. Тензорное произведение колец и алгебр.

Линейные представления математических структур (множеств, векторных пространств, ассоциативных алгебр, групп, … ), их матричная реализация в конечномерном случае. Инвариантные подпространства, подпредставления и факторпредставления. Прямая сумма линейных представлений. Приводимые, неприводимые и вполне приводимые представления.

Подпредставление вполне приводимого представления вполне приводимо. Разложение вполне приводимого конечномерного представления в прямую сумму неприводимых представлений. Гомоморфизмы, эндоморфизмы и изоморфизмы линейных представлений. Изоморфные линейные представления соответствуют эквивалентным матричным представлениям. Лемма Шура о гомоморфизмах и эндоморфизмах неприводимых линейных представлений. Кратности неприводимых представлений в разложении вполне приводимого представления на неприводимые слагаемые и изотипные компоненты, их единственность и структура.

Конечномерные ассоциативные алгебры, эквивалентность понятия линейного представления и модуля над алгеброй. Нильпотентные алгебры, радикал. Радикал алгебры совпадает с пересечением ядер её неприводимых представлений. Стандартное скалярное умножение на конечномерной ассоциативной алгебре, его свойства, связь с радикалом.

Полупростые ассоциативные алгебры, пример: простые алгебры с ненулевым умножением, в частности, алгебры матриц над конечномерными алгебрами с делением. Разложение полупростой алгебры в прямую сумму простых алгебр. Теорема Бернсайда об образе конечномерной ассоциативной алгебры при неприводимом представлении. Теорема Веддербёрна о структуре простых конечномерных ассоциативных алгебр.