| Предыдущая версия справа и слева
Предыдущая версия
Следующая версия
|
Предыдущая версия
|
лекции_2_курс_фммф_весна_2026 [13.02.2026 12:40]
timashev |
лекции_2_курс_фммф_весна_2026 [23.03.2026 12:38] (текущий)
timashev |
| == Лекция 2 == | == Лекция 2 == |
| |
| Прямая сумма модулей, её универсальное свойство. __Тензорное произведение__ модулей. | Прямая сумма модулей, её универсальное свойство. __Тензорное произведение__ модулей: определение через универсальное свойство, существование и единственность, структура бимодуля. |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 16 февраля 2026 === |
| | |
| | == Лекция 3 == |
| | |
| | Свойства тензорного произведения: тензорное умножение на регулярный модуль, дистрибутивность относительно прямых сумм, ассоциативность. Полилинейные отображения модулей, универсальное свойство тензорного произведения по отношению к полилинейным отображениям. Тензорное произведение векторных пространств, его базис и размерность. Расширение скаляров. |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 27 февраля 2026 === |
| | |
| | == Лекция 4 == |
| | |
| | Пространства полилинейных функций и тензоров на векторном пространстве. Тензорное произведение колец и алгебр. |
| | |
| | __Линейные представления__ математических структур (множеств, векторных пространств, ассоциативных алгебр, групп, … ), их матричная реализация в конечномерном случае. Инвариантные подпространства, подпредставления и факторпредставления. Прямая сумма линейных представлений. __Приводимые__, __неприводимые__ и __вполне приводимые__ представления. |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 2 марта 2026 === |
| | |
| | == Лекция 5 == |
| | |
| | Подпредставление вполне приводимого представления вполне приводимо. Разложение вполне приводимого конечномерного представления в прямую сумму неприводимых представлений. __Гомоморфизмы__, __эндоморфизмы__ и __изоморфизмы__ линейных представлений. Изоморфные линейные представления соответствуют эквивалентным матричным представлениям. __Лемма Шура__ о гомоморфизмах и эндоморфизмах неприводимых линейных представлений. __Кратности__ неприводимых представлений в разложении вполне приводимого представления на неприводимые слагаемые и __изотипные компоненты__, их единственность и структура. |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 13 марта 2026 === |
| | |
| | == Лекция 6 == |
| | |
| | Конечномерные ассоциативные алгебры, эквивалентность понятия линейного представления и модуля над алгеброй. Нильпотентные алгебры, __радикал__. Радикал алгебры совпадает с пересечением ядер её неприводимых представлений. Стандартное скалярное умножение на конечномерной ассоциативной алгебре, его свойства, связь с радикалом. |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 16 марта 2026 === |
| | |
| | == Лекция 7 == |
| | |
| | __Полупростые__ ассоциативные алгебры, пример: простые алгебры с ненулевым умножением, в частности, алгебры матриц над конечномерными алгебрами с делением. Разложение полупростой алгебры в прямую сумму простых алгебр. __Теорема Бернсайда__ об образе конечномерной ассоциативной алгебры при неприводимом представлении. __Теорема Веддербёрна__ о структуре простых конечномерных ассоциативных алгебр. |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 23 марта 2026 === |
| | |
| | == Лекция 8 == |
| | |
| | __Теорема Веддербёрна-Артина__ о структуре полупростых конечномерных ассоциативных алгебр. Полная приводимость представлений полупростых алгебр, описание неприводимых представлений, их количество и сумма квадратов размерностей. |
| | |
| | Линейные представления групп, примеры: представления циклических групп, __мономиальное представление__ симметрической группы, представление аддитивной группы $\mathbb{R}$ вращениями евклидовой плоскости, представление в пространстве функций на множестве с действием группы. Теоретико-представленческие конструкции: __сопряжённое представление__. |
