Кафедра высшей алгебры

Лектор: Д.А. Тимашёв

Лекции проходят по понедельникам на 1-й паре (9:00-10:35) в ауд. П4 и по пятницам на каждой нечётной неделе на 2-й паре (10:45-12:20) в ауд. П11.

1. А.И. Кострикин. Введение в алгебру.
   • Часть I. Основы алгебры. Глава 4.
   • Часть III. Основные структуры алгебры.
2. Э.Б. Винберг. Курс алгебры. Главы 1, 4, 9–11.

Группы (напоминание из 1-го семестра): определение, абелевы группы, мультипликативная и аддитивная терминологии. Примеры групп: аддитивные и мультипликативные группы колец и полей, матричные и линейные группы, группы движений (в т.ч. группа диэдра D_n), группы преобразований множеств (в т.ч. симметрическая группа S_n и знакопеременная группа A_n).

Гомоморфизм групп, примеры и простейшие свойства. Изоморфизм = биективный гомоморфизм. Изоморфные группы одинаковы по своим теоретико-групповым свойствам. Примеры изоморфных и неизоморфных групп.

Подгруппы: определение и примеры. Циклические (под)группы и их свойства: порядок циклической группы, изоморфизм циклических групп одного порядка, подгруппы циклических групп.

Смежные классы по подгруппе (левые и правые), их свойства. Теорема Лагранжа и её следствия: порядок подгруппы и порядок элемента делят порядок группы, тождество g^n=e в группе порядка n, цикличность групп простого порядка.

Нормальные подгруппы, их эквивалентные определения. Факторгруппа G/H группы G по нормальной подгруппе H, пример: Z/mZ=Z_m.

Образ Imφ и ядро Kerφ гомоморфизма групп φ:G→H, их свойства, примеры. Основная теорема о гомоморфизмах групп (изоморфизм между G/Kerφ и Imφ, задаваемый гомоморфизмом φ).

Вычисление факторгрупп с помощью основной теоремы о гомоморфизмах, примеры: R/Z≅U (единичная окружность), S_n/A_n, GL_n(K)/SL_n(K), Z/mZ≅U_m (корни степени m из 1), C/U.

Автоморфизмы групп, группа автоморфизмов Aut G, её описание для циклических групп G. Внутренние автоморфизмы, гомоморфизм G → Aut G, его образ — нормальная подгруппа внутренних автоморфизмов Inn G, и ядро Z(G) — центр группы G. Если G неабелева, то группа Inn G — не циклическая.

Разложение группы в прямое произведение (внутреннее) двух подгрупп, перестановочность сомножителей.

Свойства внутреннего прямого произведения: единственность разложения по сомножителям, покомпонентное перемножение разложений. Внешнее прямое произведение двух групп, его эквивалентность внутреннему. Прямая сумма (абелевых) групп. Примеры: разложение аддитивной и мультипликативной групп поля C.

Обобщение прямого произведения (прямой суммы) групп на случай нескольких сомножителей. Порядок прямого произведения конечных групп. Китайская теорема об остатках в классической и теоретико-групповой формулировке: Z_m ≅ Z_{m_1} ⊕ … ⊕ Z_{m_s} для разложения m=m_1·…·m_s в произведение попарно взаимно простых сомножителей. Разложение циклической группы в прямую сумму примарных циклических групп. Факторизация прямого произведения групп по прямому произведению подгрупп, в частности, по прямым сомножителям.

Подгруппа, порождённая семейством элементов группы (наименьшая подгруппа, содержащая семейство), описание её элементов. Две системы порождающих группы S_n: всевозможные транспозиции и транспозиции (1,2), (2,3), … , (n-1,n).

Примеры систем порождающих в группах: A_n (тройные циклы при n≥3 и пары независимых транспозиций при n≥5), GL_n (элементарные матрицы), SL_n (элементарные матрицы 1-го типа).

Конечно порождённые абелевы группы (в аддитивной записи), (целочисленные) линейные комбинации элементов абелевой группы, линейная зависимость, базисы. Свободные абелевы группы. Основная лемма о линейной зависимости для абелевых групп. Во всех базисах свободной абелевой группы одинаковое число элементов — ранг группы. Изоморфизм свободных абелевых групп одного ранга. Подгруппы свободных абелевых групп. Дискретные подгруппы евклидовых пространств.

Теорема о базисе свободной абелевой группы, согласованном с подгруппой (доказательство основано на лемме о приведении целочисленной матрицы к «диагональному» виду целочисленными элементарными преобразованиями строк и столбцов). Универсальное свойство свободной абелевой группы.

Структура конечно порождённых абелевых групп: разложение в прямую сумму бесконечных и примарных циклических групп, единственность вида разложения (ранг и тип кручения). Структура конечных абелевых групп. Примеры различных разложений данной группы в прямую сумму бесконечных и примарных циклических подгрупп. Доказательство существования разложения.

Единственность вида разложения конечно порождённой абелевой группы G в прямую сумму бесконечных и примарных циклических групп: подгруппа кручения Tor(G) и подгруппа p-кручения Tor_p(G), определение количества бесконечных циклических слагаемых как ранга свободной абелевой группы G/Tor(G) и вида p-примарных циклических слагаемых из разложения Tor_p(G) индукцией по порядку этой группы.

Экспонента группы, проблема Бернсайда. Определение экспоненты конечной абелевой группы по её разложению в прямую сумму циклических групп, критерий цикличности конечной абелевой группы: экспонента совпадает с порядком группы. Цикличность конечной подгруппы в мультипликативной группе поля, в частности, мультипликативной группы конечного поля.

Действие группы G на множестве X: два эквивалентных определения (гомоморфизм G → S(X) и операция действия G×X → X с определёнными свойствами).

Примеры действий, в т.ч. действия группы на себе левыми/правыми умножениями и сопряжениями. Теорема Кэли. Ядро неэффективности и эффективные действия, сведение любого действия к эффективному.

Эквивалентность на множестве, определяемая действием группы. Орбиты, транзитивные действия. Стабилизаторы точек, сопряжённость стабилизаторов эквивалентных точек. Взаимно однозначное соответствие между точками орбиты и смежными классами по стабилизатору, число точек в орбите.

Группа вращений куба: её порядок (из транзитивного действия на вершинах куба), изоморфизм с S_4 (из действия на диагоналях), сюръективный гомоморфизм S_4 → S_3 (из действия на прямых, соединяющих центры противоположных граней).

Действие группы на себе сопряжениями, классы сопряжённости и централизаторы, примеры: классы сопряжённости и центры групп GL_n и S_n. Число элементов в классе сопряжённости, формула классов.

Нетривиальность центра конечной p-группы, коммутативность и классификация групп порядка p² (p — простое число).

Коммутатор элементов группы, его свойства. Коммутант (производная группа) [G,G]=G' группы G, его свойства (в частности, G' — наименьшая нормальная подгруппа в G с абелевой факторгруппой). Коммутанты групп S_n и A_n.

Коммутанты групп GL_n(K) и SL_n(K) при n≥3 и при n=2 для достаточно большого поля K.

Кратные коммутанты, их свойства, характеристические подгруппы. Производный ряд, разрешимые группы, ступень (класс) разрешимости. Критерий разрешимости группы: нормальная подгруппа и факторгруппа по ней разрешимы.

Разрешимость группы S_n при n≤4 и неразрешимость при n≥5. Происхождение понятия и термина «разрешимая группа»: проблема разрешимости уравнений в радикалах. Группа Галуа многочлена над числовым полем K, её разрешимость равносильна выразимости комплексных корней многочлена в радикалах через элементы поля K, выразимость корней любого многочлена степени n в радикалах через его коэффициенты равносильна разрешимости группы S_n (без доказательства).

Неразрешимость групп GL_n(K) и SL_n(K) при n≥3 или |K|≥4. Разрешимость группы треугольных матриц и конечных p-групп.

Простые группы. Описание простых абелевых групп.

Композиционный ряд группы, существование композиционного ряда у конечной группы, теорема Жордана–Гёльдера (без доказательства). Два аспекта проблемы классификации конечных групп: классификация простых групп и классификация групп с заданным набором факторов композиционного ряда.

Простота групп A_n при n≥5 и SO_3(R).

Силовские подгруппы, 1-я теорема Силова. 2-я теорема Силова, критерий нормальности силовской подгруппы. Действие группы сопряжениями на множестве подгрупп, нормализатор подгруппы, 3-я теорема Силова. Пример: силовские подгруппы в A_5. Группы порядка pq, где p и q — различные простые числа, p>q: разрешимость и коммутативность, если p-1 не делится на q.

Линейные и матричные представления групп, связь между ними, примеры: представления циклических групп, мономиальное представление симметрической группы, представление аддитивной группы R вращениями евклидовой плоскости, представление в пространстве функций на множестве с действием группы, регулярное представление (левое и правое).

Гомоморфизмы и изоморфизмы линейных и матричных представлений. Изоморфные матричные представления соответствуют одному и тому же линейному представлению в разных базисах.

Инвариантные подпространства, подпредставления. Приводимые, неприводимые и вполне приводимые представления, примеры.

Подпредставление вполне приводимого представления вполне приводимо. Прямая сумма представлений, разложение вполне приводимого конечномерного представления в прямую сумму неприводимых представлений.

Теорема Машке о полной приводимости конечномерных представлений конечных групп над полями характеристики 0. Пример: разложение мономиального представления группы S_n в прямую сумму тривиального одномерного представления и стандартного (n-1)-мерного неприводимого представления.

Ортогональные и унитарные представления, их полная приводимость. Ортогонализуемость (унитаризуемость) конечномерных представлений конечных групп над полем R (С), следствие — новое доказательство теоремы Машке над R и C.

Инвариантность ядра и образа гомоморфизма представлений. Пространство гомоморфизмов и кольцо эндоморфизмов представления. Лемма Шура. Усреднение по группе линейного отображения между пространствами представлений.

Кратность неприводимого представления в разложении вполне приводимого представления, её выражение через размерность пространства гомоморфизмов (над полем С), единственность разложения вполне приводимого представления на неприводимые слагаемые с точностью до изоморфизма.

Неприводимые комплексные представления абелевых групп одномерны. Описание неприводимых комплексных представлений конечных абелевых групп.

Одномерные представления произвольных групп: сведение к случаю абелевых групп. Пример: одномерные представления группы S_n.

Кратность неприводимого комплексного представления R конечной группы в её (левом) регулярном представлении равна dim R. Конечность числа неприводимых комплексных представлений конечной группы G, сумма квадратов их размерностей равна |G|.

Матричные элементы линейных представлений, независимость пространства матричных элементов от выбора базиса. Пример: матричные элементы регулярного представления в стандартном базисе. Матричные элементы всех неприводимых комплексных представлений конечной группы G образуют базис пространства C-значных функций на G, разложение пространства функций в прямую сумму пространств матричных элементов неприводимых представлений.

Представление группы G в пространстве функций на G сопряжениями аргумента, инвариантность пространства матричных элементов любого представления. Центральные функции и характеры линейных представлений. Характер неприводимого комплексного представления — единственная, с точностью до пропорциональности, центральная функция в пространстве его матричных элементов.

Характеры неприводимых комплексных представлений образуют базис пространства функций на конечной группе. Характер прямой суммы представлений.

Эрмитова структура на пространстве C-значных функций на конечной группе. Соотношения ортогональности для матричных элементов и характеров неприводимых представлений. Вычисление кратности неприводимого представления как скалярного произведения характеров. Однозначная определяемость линейного представления своим характером.

Описание неприводимых представлений групп S_3 и S_4. Пример модельной задачи на применение теории представлений: в вершинах куба записаны 8 чисел; за один шаг число в каждой вершине заменяется на среднее арифметическое чисел в соседних вершинах; как примерно будет выглядеть распределение чисел в вершинах через много шагов?

Кольца и алгебры: определение, классы колец и алгебр, примеры (Z, Z_m, Mat_n(K), K[x_1,…,x_n], алгебра функций на множестве, 3-мерное евклидово пространство с операцией векторного умножения как пример алгебры Ли). Ненулевая алгебра с 1 над полем K содержит K в качестве подалгебры. Структурные константы, примеры. Групповая алгебра конечной группы. Алгебра кватернионов H, её матричная модель в Mat_2(C) и свойства, сопряжённый кватернион и кватернионная норма, обратимость ненулевых кватернионов. Тела и алгебры с делением.

Идеалы в кольцах и алгебрах (левые, правые, двусторонние), примеры. Факторкольца и факторалгебры.

Гомоморфизмы колец и алгебр, их ядра и образы. Основная теорема о гомоморфизмах колец и алгебр.

Прямая сумма колец и алгебр (внутренняя и внешняя). Китайская теорема об остатках для колец вычетов и её следствие — явная формула для функции Эйлера.

Простые кольца и алгебры, случай коммутативных ассоциативных колец (алгебр) с 1. Простота алгебры матриц над полем.

Идеал коммутативного ассоциативного кольца (алгебры) с 1, порождённый семейством элементов. Конечно порождённые идеалы, теорема Гильберта о базисе идеала в алгебре K[x_1,…,x_n] (без доказательства). Главные идеалы, кольца главных идеалов. Евклидовы кольца являются кольцами главных идеалов.

K[x_1,…,x_n] не является кольцом главных идеалов при n>1. Факторалгебры K[x]/(f), их структура и свойства. Подстановка элемента ассоциативной алгебры с 1 в многочлен, подалгебра, порождённая элементом. Алгебраические и трансцендентные элементы алгебры, минимальный многочлен алгебраического элемента: примеры и свойства. Присоединение корня неприводимого многочлена к полю.

Конечные и конечно порождённые расширения полей, степень расширения. Теорема о башне расширений. Алгебраическое замыкание поля в его расширении. Поле (всех) алгебраических чисел, его мощность, существование трансцендентных чисел. Поле разложения многочлена, его существование и единственность с точностью до изоморфизма.

Простые поля, их структура, простое подполе данного поля.

Порядок конечного поля. Автоморфизм Фробениуса. Классификация конечных полей (полей Галуа). Построение произвольного поля Галуа присоединением к полю Z_p корня неприводимого многочлена. Пример: построение поля из 4 элементов.

Вложения конечных полей.

Конечномерные алгебры с делением, случай алгебраически замкнутого поля. Центр кольца и алгебры. Центральные алгебры, примеры: алгебра матриц, алгебра кватернионов. Теорема Фробениуса о конечномерных алгебрах с делением над R.