| Предыдущая версия справа и слева
Предыдущая версия
Следующая версия
|
Предыдущая версия
|
лекции_2_курс_1_поток_осень_2017 [16.10.2017 22:45]
timashev |
лекции_2_курс_1_поток_осень_2017 [08.04.2025 16:43] (текущий)
|
| Свойства внутреннего прямого произведения: единственность разложения по сомножителям, покомпонентное перемножение разложений. Внешнее прямое произведение двух групп, его эквивалентность внутреннему. Прямая сумма (абелевых) групп. Примеры: разложение аддитивной и мультипликативной групп поля **C**. | Свойства внутреннего прямого произведения: единственность разложения по сомножителям, покомпонентное перемножение разложений. Внешнее прямое произведение двух групп, его эквивалентность внутреннему. Прямая сумма (абелевых) групп. Примеры: разложение аддитивной и мультипликативной групп поля **C**. |
| |
| Обобщение прямого произведения (прямой суммы) групп на случай нескольких сомножителей. Порядок прямого произведения конечных групп. Китайская теорема об остатках в классической и теоретико-групповой формулировке: **Z**_m ≅ **Z**_{m_1} ⊕ … ⊕ **Z**_{m_s} для разложения m=m_1·…·m_s в произведение попарно взаимно простых сомножителей. Разложение циклической группы в прямую сумму примарных циклических групп. Факторизация прямого произведения групп по прямому произведению подгрупп, в частности, по прямым сомножителям. | Обобщение прямого произведения (прямой суммы) групп на случай нескольких сомножителей. Порядок прямого произведения конечных групп. __Китайская теорема об остатках__ в классической и теоретико-групповой формулировке: **Z**_m ≅ **Z**_{m_1} ⊕ … ⊕ **Z**_{m_s} для разложения m=m_1·…·m_s в произведение попарно взаимно простых сомножителей. Разложение циклической группы в прямую сумму примарных циклических групп. Факторизация прямого произведения групп по прямому произведению подгрупп, в частности, по прямым сомножителям. |
| |
| Подгруппа, порождённая семейством элементов группы (наименьшая подгруппа, содержащая семейство), описание её элементов. Две системы порождающих группы S_n: всевозможные транспозиции и транспозиции (1,2), (2,3), … , (n-1,n). | Подгруппа, порождённая семейством элементов группы (наименьшая подгруппа, содержащая семейство), описание её элементов. Две системы порождающих группы S_n: всевозможные транспозиции и транспозиции (1,2), (2,3), … , (n-1,n). |
| == Лекция 10 == | == Лекция 10 == |
| |
| Коммутанты групп GL_n(K) и SL_n(K) при n≥3 и при n=2 c ограничениями на поле K. | Коммутанты групп GL_n(K) и SL_n(K) при n≥3 и при n=2 для достаточно большого поля K. |
| |
| Кратные коммутанты, их свойства, характеристические подгруппы. Производный ряд, __разрешимые группы__, ступень (класс) разрешимости. Критерий разрешимости группы: нормальная подгруппа и факторгруппа по ней разрешимы. | Кратные коммутанты, их свойства, характеристические подгруппы. Производный ряд, __разрешимые группы__, ступень (класс) разрешимости. Критерий разрешимости группы: нормальная подгруппа и факторгруппа по ней разрешимы. |
| __Простые группы__. Описание простых абелевых групп. | __Простые группы__. Описание простых абелевых групп. |
| |
| Композиционный ряд группы, существование композиционного ряда у конечной группы, теорема Жордана–Гёльдера (без доказательства). Два аспекта проблемы классификации конечных групп: классификация простых конечных групп и классификация групп с заданным набором факторов композиционного ряда. | Композиционный ряд группы, существование композиционного ряда у конечной группы, теорема Жордана–Гёльдера (без доказательства). Два аспекта проблемы классификации конечных групп: классификация простых групп и классификация групп с заданным набором факторов композиционного ряда. |
| |
| Простота групп A_n при n≥5 и SO_3(**R**). | Простота групп A_n при n≥5 и SO_3(**R**). |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 23 октября 2017 === |
| | |
| | == Лекция 12 == |
| | |
| | __Силовские подгруппы__, 1-я теорема Силова. 2-я теорема Силова, критерий нормальности силовской подгруппы. Действие группы сопряжениями на множестве подгрупп, __нормализатор__ подгруппы, 3-я теорема Силова. Пример: силовские подгруппы в A_5. Группы порядка pq, где p и q — различные простые числа, p>q: разрешимость и коммутативность, если p-1 не делится на q. |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 27 октября 2017 === |
| | |
| | == Лекция 13 == |
| | |
| | __Линейные и матричные представления__ групп, связь между ними, примеры: представления циклических групп, __мономиальное представление__ симметрической группы, представление аддитивной группы **R** вращениями евклидовой плоскости, представление в пространстве функций на множестве с действием группы, __регулярное представление__ (левое и правое). |
| | |
| | __Гомоморфизмы__ и __изоморфизмы__ линейных и матричных представлений. Изоморфные матричные представления соответствуют одному и тому же линейному представлению в разных базисах. |
| | |
| | Инвариантные подпространства, подпредставления. __Приводимые__, __неприводимые__ и __вполне приводимые__ представления, примеры. |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 10 ноября 2017 === |
| | |
| | == Лекция 14 == |
| | |
| | Подпредставление вполне приводимого представления вполне приводимо. __Прямая сумма__ представлений, разложение вполне приводимого конечномерного представления в прямую сумму неприводимых представлений. |
| | |
| | __Теорема Машке__ о полной приводимости конечномерных представлений конечных групп над полями характеристики 0. Пример: разложение мономиального представления группы S_n в прямую сумму тривиального одномерного представления и __стандартного__ (n-1)-мерного неприводимого представления. |
| | |
| | __Ортогональные__ и __унитарные__ представления, их полная приводимость. Ортогонализуемость (унитаризуемость) конечномерных представлений конечных групп над полем **R** (**С**), следствие — новое доказательство теоремы Машке над **R** и **C**. |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 13 ноября 2017 === |
| | |
| | == Лекция 15 == |
| | |
| | Инвариантность ядра и образа гомоморфизма представлений. Пространство гомоморфизмов и кольцо эндоморфизмов представления. __Лемма Шура__. Усреднение по группе линейного отображения между пространствами представлений. |
| | |
| | __Кратность__ неприводимого представления в разложении вполне приводимого представления, её выражение через размерность пространства гомоморфизмов (над полем **С**), единственность разложения вполне приводимого представления на неприводимые слагаемые с точностью до изоморфизма. |
| | |
| | Неприводимые комплексные представления абелевых групп одномерны. Описание неприводимых комплексных представлений конечных абелевых групп. |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 20 ноября 2017 === |
| | |
| | == Лекция 16 == |
| | |
| | Одномерные представления произвольных групп: сведение к случаю абелевых групп. Пример: одномерные представления группы S_n. |
| | |
| | Кратность неприводимого комплексного представления R конечной группы в её (левом) регулярном представлении равна dim R. Конечность числа неприводимых комплексных представлений конечной группы G, сумма квадратов их размерностей равна |G|. |
| | |
| | __Матричные элементы__ линейных представлений, независимость пространства матричных элементов от выбора базиса. Пример: матричные элементы регулярного представления в стандартном базисе. Матричные элементы всех неприводимых комплексных представлений конечной группы G образуют базис пространства **C**-значных функций на G, разложение пространства функций в прямую сумму пространств матричных элементов неприводимых представлений. |
| | |
| | Представление группы G в пространстве функций на G сопряжениями аргумента, инвариантность пространства матричных элементов любого представления. __Центральные функции__ и __характеры__ линейных представлений. Характер неприводимого комплексного представления — единственная, с точностью до пропорциональности, центральная функция в пространстве его матричных элементов. |
| | |
| | ---- |
| | |
| | === 24 ноября 2017 === |
| | |
| | == Лекция 17 == |
| | |
| | Характеры неприводимых комплексных представлений образуют базис пространства функций на конечной группе. Характер прямой суммы представлений. |
| | |
| | Эрмитова структура на пространстве **C**-значных функций на конечной группе. __Соотношения ортогональности__ для матричных элементов и характеров неприводимых представлений. Вычисление кратности неприводимого представления как скалярного произведения характеров. Однозначная определяемость линейного представления своим характером. |
| | |
| | Описание неприводимых представлений групп S_3 и S_4. __Пример модельной задачи__ на применение теории представлений: в вершинах куба записаны 8 чисел; за один шаг число в каждой вершине заменяется на среднее арифметическое чисел в соседних вершинах; как примерно будет выглядеть распределение чисел в вершинах через много шагов? |
| | |
| | === 27 ноября 2017 === |
| | |
| | == Лекция 18 == |
| | |
| | __Кольца__ и __алгебры__: определение, классы колец и алгебр, примеры (**Z**, **Z**_m, Mat_n(K), K[x_1,…,x_n], алгебра функций на множестве, 3-мерное евклидово пространство с операцией векторного умножения как пример __алгебры Ли__). Ненулевая алгебра с 1 над полем K содержит K в качестве подалгебры. __Структурные константы__, примеры. __Групповая алгебра__ конечной группы. __Алгебра кватернионов__ **H**, её матричная модель в Mat_2(**C**) и свойства, сопряжённый кватернион и кватернионная норма, обратимость ненулевых кватернионов. __Тела__ и __алгебры с делением__. |
| | |
| | __Идеалы__ в кольцах и алгебрах (левые, правые, двусторонние), примеры. __Факторкольца__ и __факторалгебры__. |
| | |
| | === 4 декабря 2017 === |
| | |
| | == Лекция 19 == |
| | |
| | __Гомоморфизмы__ колец и алгебр, их __ядра__ и __образы__. __Основная теорема о гомоморфизмах__ колец и алгебр. |
| | |
| | __Прямая сумма__ колец и алгебр (внутренняя и внешняя). __Китайская теорема об остатках__ для колец вычетов и её следствие — явная формула для функции Эйлера. |
| | |
| | __Простые__ кольца и алгебры, случай коммутативных ассоциативных колец (алгебр) с 1. Простота алгебры матриц над полем. |
| | |
| | Идеал коммутативного ассоциативного кольца (алгебры) с 1, порождённый семейством элементов. Конечно порождённые идеалы, теорема Гильберта о базисе идеала в алгебре K[x_1,…,x_n] (без доказательства). __Главные идеалы__, кольца главных идеалов. Евклидовы кольца являются кольцами главных идеалов. |
| | |
| | === 8 декабря 2017 === |
| | |
| | == Лекция 20 == |
| | |
| | K[x_1,…,x_n] не является кольцом главных идеалов при n>1. Факторалгебры K[x]/(f), их структура и свойства. Подстановка элемента ассоциативной алгебры с 1 в многочлен, подалгебра, порождённая элементом. __Алгебраические__ и __трансцендентные__ элементы алгебры, __минимальный многочлен__ алгебраического элемента: примеры и свойства. __Присоединение корня__ неприводимого многочлена к полю. |
| | |
| | === 11 декабря 2017 === |
| | |
| | == Лекция 21 == |
| | |
| | Конечные и конечно порождённые расширения полей, степень расширения. Теорема о башне расширений. __Алгебраическое замыкание__ поля в его расширении. Поле (всех) __алгебраических чисел__, его мощность, существование __трансцендентных чисел__. __Поле разложения__ многочлена, его существование и единственность с точностью до изоморфизма. |
| | |
| | === 14 декабря 2017 === |
| | |
| | == Лекция 22 == |
| | |
| | __Простые поля__, их структура, простое подполе данного поля. |
| | |
| | Порядок конечного поля. __Автоморфизм Фробениуса__. Классификация конечных полей (__полей Галуа__). Построение произвольного поля Галуа присоединением к полю **Z**_p корня неприводимого многочлена. Пример: построение поля из 4 элементов. |
| | |
| | === 18 декабря 2017 === |
| | |
| | == Лекция 23 == |
| | |
| | Вложения конечных полей. |
| | |
| | Конечномерные алгебры с делением, случай алгебраически замкнутого поля. __Центр__ кольца и алгебры. __Центральные алгебры__, примеры: алгебра матриц, алгебра кватернионов. __Теорема Фробениуса__ о конечномерных алгебрах с делением над **R**. |
