Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- лекции_2_курс_1_поток_осень_2017 [17.10.2017 18:26]
timashev
+++ лекции_2_курс_1_поток_осень_2017 [08.04.2025 16:43] (текущий)
@@ Строка 121: / Строка 121: @@
 == Лекция 10 ==
-Коммутанты групп GL_n(K) и SL_n(K) при n≥3 и при n=2 c ограничениями на поле K.
+Коммутанты групп GL_n(K) и SL_n(K) при n≥3 и при n=2 для достаточно большого поля K.
 Кратные коммутанты, их свойства, характеристические подгруппы. Производный ряд, __разрешимые группы__, ступень (класс) разрешимости. Критерий разрешимости группы: нормальная подгруппа и факторгруппа по ней разрешимы.
@@ Строка 140: / Строка 140: @@
 Простота групп A_n при n≥5 и SO_3(**R**).
+----
+=== 23 октября 2017 ===
+== Лекция 12 ==
+__Силовские подгруппы__, 1-я теорема Силова. 2-я теорема Силова, критерий нормальности силовской подгруппы. Действие группы сопряжениями на множестве подгрупп, __нормализатор__ подгруппы, 3-я теорема Силова. Пример: силовские подгруппы в A_5. Группы порядка pq, где p и q — различные простые числа, p>q: разрешимость и коммутативность, если p-1 не делится на q.
+----
+=== 27 октября 2017 ===
+== Лекция 13 ==
+__Линейные и матричные представления__ групп, связь между ними, примеры: представления циклических групп, __мономиальное представление__ симметрической группы, представление аддитивной группы **R** вращениями евклидовой плоскости, представление в пространстве функций на множестве с действием группы, __регулярное представление__ (левое и правое).
+__Гомоморфизмы__ и __изоморфизмы__ линейных и матричных представлений. Изоморфные матричные представления соответствуют одному и тому же линейному представлению в разных базисах.
+Инвариантные подпространства, подпредставления. __Приводимые__, __неприводимые__ и __вполне приводимые__ представления, примеры.
+----
+=== 10 ноября 2017 ===
+== Лекция 14 ==
+Подпредставление вполне приводимого представления вполне приводимо. __Прямая сумма__ представлений, разложение вполне приводимого конечномерного представления в прямую сумму неприводимых представлений.
+__Теорема Машке__ о полной приводимости конечномерных представлений конечных групп над полями характеристики 0. Пример: разложение мономиального представления группы S_n в прямую сумму тривиального одномерного представления и __стандартного__ (n-1)-мерного неприводимого представления.
+__Ортогональные__ и __унитарные__ представления, их полная приводимость. Ортогонализуемость (унитаризуемость) конечномерных представлений конечных групп над полем **R** (**С**), следствие — новое доказательство теоремы Машке над **R** и **C**.
+----
+=== 13 ноября 2017 ===
+== Лекция 15 ==
+Инвариантность ядра и образа гомоморфизма представлений. Пространство гомоморфизмов и кольцо эндоморфизмов представления. __Лемма Шура__. Усреднение по группе линейного отображения между пространствами представлений.
+__Кратность__ неприводимого представления в разложении вполне приводимого представления, её выражение через размерность пространства гомоморфизмов (над полем **С**), единственность разложения вполне приводимого представления на неприводимые слагаемые с точностью до изоморфизма.
+Неприводимые комплексные представления абелевых групп одномерны. Описание неприводимых комплексных представлений конечных абелевых групп.
+----
+=== 20 ноября 2017 ===
+== Лекция 16 ==
+Одномерные представления произвольных групп: сведение к случаю абелевых групп. Пример: одномерные представления группы S_n.
+Кратность неприводимого комплексного представления R конечной группы в её (левом) регулярном представлении равна dim R. Конечность числа неприводимых комплексных представлений конечной группы G, сумма квадратов их размерностей равна |G|.
+__Матричные элементы__ линейных представлений, независимость пространства матричных элементов от выбора базиса. Пример: матричные элементы регулярного представления в стандартном базисе. Матричные элементы всех неприводимых комплексных представлений конечной группы G образуют базис пространства **C**-значных функций на G, разложение пространства функций в прямую сумму пространств матричных элементов неприводимых представлений.
+Представление группы G в пространстве функций на G сопряжениями аргумента, инвариантность пространства матричных элементов любого представления. __Центральные функции__ и __характеры__ линейных представлений. Характер неприводимого комплексного представления — единственная, с точностью до пропорциональности, центральная функция в пространстве его матричных элементов.
+----
+=== 24 ноября 2017 ===
+== Лекция 17 ==
+Характеры неприводимых комплексных представлений образуют базис пространства функций на конечной группе. Характер прямой суммы представлений.
+Эрмитова структура на пространстве **C**-значных функций на конечной группе. __Соотношения ортогональности__ для матричных элементов и характеров неприводимых представлений. Вычисление кратности неприводимого представления как скалярного произведения характеров. Однозначная определяемость линейного представления своим характером.
+Описание неприводимых представлений групп S_3 и S_4. __Пример модельной задачи__ на применение теории представлений: в вершинах куба записаны 8 чисел; за один шаг число в каждой вершине заменяется на среднее арифметическое чисел в соседних вершинах; как примерно будет выглядеть распределение чисел в вершинах через много шагов?
+=== 27 ноября 2017 ===
+== Лекция 18 ==
+__Кольца__ и __алгебры__: определение, классы колец и алгебр, примеры (**Z**, **Z**_m, Mat_n(K), K[x_1,…,x_n], алгебра функций на множестве, 3-мерное евклидово пространство с операцией векторного умножения как пример __алгебры Ли__). Ненулевая алгебра с 1 над полем K содержит K в качестве подалгебры. __Структурные константы__, примеры. __Групповая алгебра__ конечной группы. __Алгебра кватернионов__ **H**, её матричная модель в Mat_2(**C**) и свойства, сопряжённый кватернион и кватернионная норма, обратимость ненулевых кватернионов. __Тела__ и __алгебры с делением__.
+__Идеалы__ в кольцах и алгебрах (левые, правые, двусторонние), примеры. __Факторкольца__ и __факторалгебры__.
+=== 4 декабря 2017 ===
+== Лекция 19 ==
+__Гомоморфизмы__ колец и алгебр, их __ядра__ и __образы__. __Основная теорема о гомоморфизмах__ колец и алгебр.
+__Прямая сумма__ колец и алгебр (внутренняя и внешняя). __Китайская теорема об остатках__ для колец вычетов и её следствие — явная формула для функции Эйлера.
+__Простые__ кольца и алгебры, случай коммутативных ассоциативных колец (алгебр) с 1. Простота алгебры матриц над полем.
+Идеал коммутативного ассоциативного кольца (алгебры) с 1, порождённый семейством элементов. Конечно порождённые идеалы, теорема Гильберта о базисе идеала в алгебре K[x_1,…,x_n] (без доказательства). __Главные идеалы__, кольца главных идеалов. Евклидовы кольца являются кольцами главных идеалов.
+=== 8 декабря 2017 ===
+== Лекция 20 ==
+K[x_1,…,x_n] не является кольцом главных идеалов при n>1. Факторалгебры K[x]/(f), их структура и свойства. Подстановка элемента ассоциативной алгебры с 1 в многочлен, подалгебра, порождённая элементом. __Алгебраические__ и __трансцендентные__ элементы алгебры, __минимальный многочлен__ алгебраического элемента: примеры и свойства. __Присоединение корня__ неприводимого многочлена к полю.
+=== 11 декабря 2017 ===
+== Лекция 21 ==
+Конечные и конечно порождённые расширения полей, степень расширения. Теорема о башне расширений. __Алгебраическое замыкание__ поля в его расширении. Поле (всех) __алгебраических чисел__, его мощность, существование __трансцендентных чисел__. __Поле разложения__ многочлена, его существование и единственность с точностью до изоморфизма.
+=== 14 декабря 2017 ===
+== Лекция 22 ==
+__Простые поля__, их структура, простое подполе данного поля.
+Порядок конечного поля. __Автоморфизм Фробениуса__. Классификация конечных полей (__полей Галуа__). Построение произвольного поля Галуа присоединением к полю **Z**_p корня неприводимого многочлена. Пример: построение поля из 4 элементов.
+=== 18 декабря 2017 ===
+== Лекция 23 ==
+Вложения конечных полей.
+Конечномерные алгебры с делением, случай алгебраически замкнутого поля. __Центр__ кольца и алгебры. __Центральные алгебры__, примеры: алгебра матриц, алгебра кватернионов. __Теорема Фробениуса__ о конечномерных алгебрах с делением над **R**.