| Предыдущая версия справа и слева
Предыдущая версия
Следующая версия
|
Предыдущая версия
|
лекции_2_курс_1_поток_осень_2017 [24.11.2017 18:53]
timashev |
лекции_2_курс_1_поток_осень_2017 [08.04.2025 16:43] (текущий)
|
| Описание неприводимых представлений групп S_3 и S_4. __Пример модельной задачи__ на применение теории представлений: в вершинах куба записаны 8 чисел; за один шаг число в каждой вершине заменяется на среднее арифметическое чисел в соседних вершинах; как примерно будет выглядеть распределение чисел в вершинах через много шагов? | Описание неприводимых представлений групп S_3 и S_4. __Пример модельной задачи__ на применение теории представлений: в вершинах куба записаны 8 чисел; за один шаг число в каждой вершине заменяется на среднее арифметическое чисел в соседних вершинах; как примерно будет выглядеть распределение чисел в вершинах через много шагов? |
| |
| | === 27 ноября 2017 === |
| | |
| | == Лекция 18 == |
| | |
| | __Кольца__ и __алгебры__: определение, классы колец и алгебр, примеры (**Z**, **Z**_m, Mat_n(K), K[x_1,…,x_n], алгебра функций на множестве, 3-мерное евклидово пространство с операцией векторного умножения как пример __алгебры Ли__). Ненулевая алгебра с 1 над полем K содержит K в качестве подалгебры. __Структурные константы__, примеры. __Групповая алгебра__ конечной группы. __Алгебра кватернионов__ **H**, её матричная модель в Mat_2(**C**) и свойства, сопряжённый кватернион и кватернионная норма, обратимость ненулевых кватернионов. __Тела__ и __алгебры с делением__. |
| | |
| | __Идеалы__ в кольцах и алгебрах (левые, правые, двусторонние), примеры. __Факторкольца__ и __факторалгебры__. |
| | |
| | === 4 декабря 2017 === |
| | |
| | == Лекция 19 == |
| | |
| | __Гомоморфизмы__ колец и алгебр, их __ядра__ и __образы__. __Основная теорема о гомоморфизмах__ колец и алгебр. |
| | |
| | __Прямая сумма__ колец и алгебр (внутренняя и внешняя). __Китайская теорема об остатках__ для колец вычетов и её следствие — явная формула для функции Эйлера. |
| | |
| | __Простые__ кольца и алгебры, случай коммутативных ассоциативных колец (алгебр) с 1. Простота алгебры матриц над полем. |
| | |
| | Идеал коммутативного ассоциативного кольца (алгебры) с 1, порождённый семейством элементов. Конечно порождённые идеалы, теорема Гильберта о базисе идеала в алгебре K[x_1,…,x_n] (без доказательства). __Главные идеалы__, кольца главных идеалов. Евклидовы кольца являются кольцами главных идеалов. |
| | |
| | === 8 декабря 2017 === |
| | |
| | == Лекция 20 == |
| | |
| | K[x_1,…,x_n] не является кольцом главных идеалов при n>1. Факторалгебры K[x]/(f), их структура и свойства. Подстановка элемента ассоциативной алгебры с 1 в многочлен, подалгебра, порождённая элементом. __Алгебраические__ и __трансцендентные__ элементы алгебры, __минимальный многочлен__ алгебраического элемента: примеры и свойства. __Присоединение корня__ неприводимого многочлена к полю. |
| | |
| | === 11 декабря 2017 === |
| | |
| | == Лекция 21 == |
| | |
| | Конечные и конечно порождённые расширения полей, степень расширения. Теорема о башне расширений. __Алгебраическое замыкание__ поля в его расширении. Поле (всех) __алгебраических чисел__, его мощность, существование __трансцендентных чисел__. __Поле разложения__ многочлена, его существование и единственность с точностью до изоморфизма. |
| | |
| | === 14 декабря 2017 === |
| | |
| | == Лекция 22 == |
| | |
| | __Простые поля__, их структура, простое подполе данного поля. |
| | |
| | Порядок конечного поля. __Автоморфизм Фробениуса__. Классификация конечных полей (__полей Галуа__). Построение произвольного поля Галуа присоединением к полю **Z**_p корня неприводимого многочлена. Пример: построение поля из 4 элементов. |
| | |
| | === 18 декабря 2017 === |
| | |
| | == Лекция 23 == |
| | |
| | Вложения конечных полей. |
| | |
| | Конечномерные алгебры с делением, случай алгебраически замкнутого поля. __Центр__ кольца и алгебры. __Центральные алгебры__, примеры: алгебра матриц, алгебра кватернионов. __Теорема Фробениуса__ о конечномерных алгебрах с делением над **R**. |
