Кафедра высшей алгебры

Вы посетили: » лекции_2_курс_1_поток_осень_2019



      

Лекции по алгебре, 2 курс, 1 поток

Лектор: Д.А. Тимашёв

Лекции проходят по понедельникам на 1-й паре (9:00-10:35) в ауд. П3 и по пятницам на каждой нечётной неделе на 1-й паре (9:00-10:35) в ауд. П12.

Литература
  1. А.И. Кострикин. Введение в алгебру.
    • Часть I. Основы алгебры. Глава 4.
    • Часть III. Основные структуры алгебры.
  2. Э.Б. Винберг. Курс алгебры. Главы 1, 4, 9–11.

2 сентября 2019

Лекция 1

Группы (напоминание из 1-го семестра): определение, абелевы группы, мультипликативная и аддитивная терминологии. Примеры групп: аддитивные и мультипликативные группы колец и полей, матричные и линейные группы, группы движений (в т.ч. группа диэдра D_n), группы преобразований множеств (в т.ч. симметрическая группа S_n и знакопеременная группа A_n).

Гомоморфизм групп, примеры и простейшие свойства. Изоморфизм = биективный гомоморфизм. Изоморфные группы одинаковы по своим теоретико-групповым свойствам.


6 сентября 2019

Лекция 2

Примеры изоморфных и неизоморфных групп.

Подгруппы: определение и примеры. Циклические (под)группы и их свойства: порядок циклической группы, изоморфизм циклических групп одного порядка, подгруппы циклических групп.

Смежные классы по подгруппе (левые и правые), их свойства. Теорема Лагранжа и её следствия: порядок подгруппы и порядок элемента делят порядок группы, тождество g^n=e в группе порядка n, цикличность групп простого порядка.

Нормальные подгруппы, их эквивалентные определения. Факторгруппа G/H группы G по нормальной подгруппе H, пример: Z/mZ=Z_m.

Образ Imφ и ядро Kerφ гомоморфизма групп φ:G→H, их свойства, примеры. Каноническая проекция группы на факторгруппу, нормальные подгруппы = ядра гомоморфизмов.


9 сентября 2019

Лекция 3

Основная теорема о гомоморфизмах групп (изоморфизм между G/Kerφ и Imφ, задаваемый гомоморфизмом φ).

Вычисление факторгрупп с помощью основной теоремы о гомоморфизмах, примеры: R/ZU (единичная окружность), S_n/A_n, GL_n(K)/SL_n(K), Z/mZU_m (корни степени m из 1), C*/U.

Произведение подгрупп, одна из которых нормальна, его факторизация по нормальному множителю.

Эндоморфизмы и автоморфизмы групп, группа автоморфизмов Aut G, её описание для циклических групп G. Внутренние автоморфизмы, гомоморфизм G → Aut G, его образ — нормальная подгруппа внутренних автоморфизмов Inn G, и ядро Z(G) — центр группы G. Если G неабелева, то группа Inn G — не циклическая.


16 сентября 2019

Лекция 4

Разложение группы в прямое произведение (внутреннее) двух подгрупп. Свойства внутреннего прямого произведения: перестановочность сомножителей, единственность разложения по сомножителям, покомпонентное перемножение разложений. Внешнее прямое произведение двух групп, его эквивалентность внутреннему. Прямая сумма (абелевых) групп. Примеры: разложение аддитивной и мультипликативной групп поля C.

Обобщение прямого произведения (прямой суммы) групп на случай нескольких сомножителей (слагаемых). Порядок прямого произведения конечных групп. Китайская теорема об остатках в классической и теоретико-групповой формулировке: Z_m ≅ Z_{m_1} ⊕ … ⊕ Z_{m_s} для разложения m=m_1·…·m_s в произведение попарно взаимно простых сомножителей. Разложение циклической группы в прямую сумму примарных циклических групп. Факторизация прямого произведения групп по прямому произведению подгрупп, в частности, по прямым сомножителям.

Подгруппа, порождённая семейством элементов группы (наименьшая подгруппа, содержащая семейство), описание её элементов.


20 сентября 2019

Лекция 5

Примеры систем порождающих в группах: S_n (транспозиции), A_n (тройные циклы при n≥3 и пары независимых транспозиций при n≥5), GL_n (элементарные матрицы), SL_n (элементарные матрицы 1-го типа).

Конечно порождённые абелевы группы (в аддитивной записи), (целочисленные) линейные комбинации элементов абелевой группы, линейная зависимость, базисы. Свободные абелевы группы. Основная лемма о линейной зависимости для абелевых групп. Во всех базисах свободной абелевой группы одинаковое число элементов — ранг группы. Изоморфизм свободных абелевых групп одного ранга. Подгруппы свободных абелевых групп. Дискретные подгруппы евклидовых пространств.


23 сентября 2019

Лекция 6

Доказательство теоремы о том, что дискретная подгруппа в евклидовом пространстве свободна.

Теорема о базисе свободной абелевой группы, согласованном с подгруппой (доказательство основано на лемме о приведении целочисленной матрицы к «диагональному» виду целочисленными элементарными преобразованиями строк и столбцов). Универсальное свойство свободной абелевой группы.

Структура конечно порождённых абелевых групп (формулировка теоремы): разложение в прямую сумму бесконечных и примарных циклических групп, единственность вида разложения (ранг и тип кручения). Структура конечных абелевых групп.


30 сентября 2019

Лекция 7

Примеры различных разложений данной группы в прямую сумму бесконечных и примарных циклических подгрупп. Доказательство теоремы о структуре конечно порождённых абелевых групп.

Экспонента группы, проблема Бернсайда. Определение экспоненты конечной абелевой группы по её разложению в прямую сумму циклических групп, критерий цикличности конечной абелевой группы: экспонента совпадает с порядком группы. Цикличность конечной подгруппы в мультипликативной группе поля, в частности, мультипликативной группы конечного поля.


4 октября 2019

Лекция 8

Действие группы G на множестве X: два эквивалентных определения (гомоморфизм G → S(X) и операция действия G×X → X с определёнными свойствами). Примеры действий, в т.ч. действия группы на себе левыми/правыми умножениями и сопряжениями. Теорема Кэли. Ядро неэффективности и эффективные действия, сведение любого действия к эффективному.

Эквивалентность на множестве, определяемая действием группы. Орбиты, транзитивные действия. Стабилизаторы точек, сопряжённость стабилизаторов эквивалентных точек. Взаимно однозначное соответствие между точками орбиты и смежными классами по стабилизатору, число точек в орбите.

Группа вращений куба: её порядок (из транзитивного действия на вершинах куба) и изоморфизм с S_4 (из действия на диагоналях).


7 октября 2019

Лекция 9

Эпиморфизм S_4 → S_3 (из действия группы вращений куба на прямых, соединяющих центры противоположных граней куба).

Действие группы на себе сопряжениями, классы сопряжённости и централизаторы, примеры: классы сопряжённости и центры групп GL_n и S_n. Число элементов в классе сопряжённости, формула классов.

Нетривиальность центра конечной p-группы, коммутативность и классификация групп порядка p² (p — простое число).

Коммутатор элементов группы, его свойства.


14 октября 2019

Лекция 10

Коммутант (производная группа) [G,G]=G' группы G, его свойства (в частности, G' — наименьшая нормальная подгруппа в G с абелевой факторгруппой). Коммутанты групп S_n и A_n. Коммутанты групп GL_n(K) и SL_n(K) при n≥3 и при n=2 для достаточно большого поля K.

Кратные коммутанты, их свойства, характеристические подгруппы. Производный ряд, разрешимые группы, ступень (класс) разрешимости. Критерий разрешимости группы: нормальная подгруппа и факторгруппа по ней разрешимы.

Разрешимость группы S_n при n≤4 и неразрешимость при n≥5. Происхождение понятия и термина «разрешимая группа»: проблема разрешимости уравнений в радикалах. Выразимость корней любого многочлена степени n в радикалах через его коэффициенты равносильна разрешимости группы S_n (без доказательства).

Неразрешимость групп GL_n(K) и SL_n(K) при n≥3 или |K|≥4. Разрешимость конечных p-групп.


18 октября 2019

Лекция 11

Разрешимость группы треугольных матриц.

Простые группы. Композиционный ряд группы, существование композиционного ряда у конечной группы, теорема Жордана–Гёльдера (без доказательства). Два аспекта проблемы классификации конечных групп: классификация простых групп и классификация групп с заданным набором факторов композиционного ряда.

Описание простых абелевых групп. Простота групп A_n при n≥5 и SO_3(R).


21 октября 2019

Лекция 12

Силовские подгруппы, 1-я теорема Силова. 2-я теорема Силова, критерий нормальности силовской подгруппы. Действие группы сопряжениями на множестве подгрупп, нормализатор подгруппы, 3-я теорема Силова. Пример: силовские подгруппы в A_5. Группы порядка pq, где p и q — различные простые числа, p>q: разрешимость и коммутативность, если p-1 не делится на q.


28 октября 2019

Лекция 13

Линейные и матричные представления групп, связь между ними, примеры: представления циклических групп, мономиальное представление симметрической группы, представление аддитивной группы R вращениями евклидовой плоскости, представление в пространстве функций на множестве с действием группы, регулярное представление (левое и правое).

Гомоморфизмы и изоморфизмы линейных и матричных представлений. Изоморфные матричные представления соответствуют одному и тому же линейному представлению в разных базисах.

Инвариантные подпространства, подпредставления. Приводимые, неприводимые и вполне приводимые представления, примеры. Подпредставление вполне приводимого представления вполне приводимо.


1 ноября 2019

Лекция 14

Прямая сумма представлений, разложение вполне приводимого конечномерного представления в прямую сумму неприводимых представлений.

Теорема Машке о полной приводимости конечномерных представлений конечных групп над полями характеристики 0. Пример: разложение мономиального представления группы S_n в прямую сумму тривиального одномерного представления и стандартного (n-1)-мерного неприводимого представления.

Ортогональные и унитарные представления, их полная приводимость. Ортогонализуемость (унитаризуемость) конечномерных представлений конечных групп над полем R (С), следствие — новое доказательство теоремы Машке над R и C.


11 ноября 2019

Лекция 15

Инвариантность ядра и образа гомоморфизма представлений. Пространство гомоморфизмов и кольцо эндоморфизмов представления. Лемма Шура. Усреднение по группе линейного отображения между пространствами представлений.

Кратность неприводимого представления в разложении вполне приводимого представления, её выражение через размерность пространства гомоморфизмов (над полем С), единственность разложения вполне приводимого представления на неприводимые слагаемые с точностью до изоморфизма.

Неприводимые комплексные представления абелевых групп одномерны. Описание неприводимых комплексных представлений конечных абелевых групп.

15 ноября 2019

Лекция 16

Одномерные представления произвольных групп: сведение к случаю абелевых групп. Пример: одномерные представления группы S_n.

Кратность неприводимого комплексного представления R конечной группы в её (левом) регулярном представлении равна dim R. Конечность числа неприводимых комплексных представлений конечной группы G, сумма квадратов их размерностей равна |G|.

Матричные элементы линейных представлений, независимость пространства матричных элементов от выбора базиса. Пример: матричные элементы регулярного представления в стандартном базисе. Матричные элементы всех неприводимых комплексных представлений конечной группы G образуют базис пространства C-значных функций на G, разложение пространства функций в прямую сумму пространств матричных элементов неприводимых представлений.

Представление группы G в пространстве функций на G сопряжениями аргумента, инвариантность пространства матричных элементов любого представления. Центральные функции и характеры линейных представлений. Характер неприводимого комплексного представления — единственная, с точностью до пропорциональности, центральная функция в пространстве его матричных элементов.


18 ноября 2019

Лекция 17

Характеры неприводимых комплексных представлений образуют базис пространства функций на конечной группе. Характер прямой суммы представлений.

Эрмитова структура на пространстве C-значных функций на конечной группе. Соотношения ортогональности для матричных элементов и характеров неприводимых представлений. Вычисление кратности неприводимого представления как скалярного произведения характеров. Однозначная определяемость линейного представления своим характером.

Описание неприводимых представлений групп S_3 и S_4. Пример модельной задачи на применение теории представлений: в вершинах куба записаны 8 чисел; за один шаг число в каждой вершине заменяется на среднее арифметическое чисел в соседних вершинах; как примерно будет выглядеть распределение чисел в вершинах через много шагов?

25 ноября 2019

Лекция 18

Кольца и алгебры: определение, классы колец и алгебр, примеры (Z, Z_m, K[x_1,…,x_n], Mat_n(K), алгебра функций на множестве, 3-мерное евклидово пространство с операцией векторного умножения как пример алгебры Ли). Ненулевая алгебра с 1 над полем K содержит K в качестве подалгебры. Структурные константы, примеры. Групповая алгебра конечной группы. Алгебра кватернионов H, её матричная модель в Mat_2(C) и свойства, сопряжённый кватернион и кватернионная норма, обратимость ненулевых кватернионов. Тела и алгебры с делением.

Идеалы в кольцах и алгебрах (левые, правые, двусторонние), примеры. Факторкольца и факторалгебры.

29 ноября 2019

Лекция 19

Гомоморфизмы колец и алгебр, их ядра и образы. Основная теорема о гомоморфизмах колец и алгебр.

Прямая сумма колец и алгебр (внутренняя и внешняя). Китайская теорема об остатках для колец вычетов и её следствие — мультипликативное свойство и явная формула для функции Эйлера.

Простые кольца и алгебры, случай коммутативных ассоциативных колец (алгебр) с 1. Простота алгебры матриц над полем.

Идеал коммутативного ассоциативного кольца (алгебры) с 1, порождённый семейством элементов. Конечно порождённые идеалы, теорема Гильберта о базисе идеала в алгебре K[x_1,…,x_n] (без доказательства). Главные идеалы, кольца главных идеалов. Евклидовы кольца являются кольцами главных идеалов. K[x_1,…,x_n] не является кольцом главных идеалов при n>1.

9 декабря 2019

Лекция 20

Факторалгебры K[x]/(f), их структура и свойства. Подстановка элемента ассоциативной алгебры с 1 в многочлен, подалгебра, порождённая элементом. Алгебраические и трансцендентные элементы алгебры, минимальный многочлен алгебраического элемента: примеры и свойства. Присоединение корня неприводимого многочлена к полю.

13 декабря 2019

Лекция 21

Конечные и конечно порождённые расширения полей, степень расширения. Теорема о башне расширений. Алгебраическое замыкание поля в его расширении. Поле (всех) алгебраических чисел, его мощность, существование трансцендентных чисел. Поле разложения многочлена, его существование и единственность с точностью до изоморфизма.

16 декабря 2019

Лекция 22

Простые поля, их структура, простое подполе данного поля.

Порядок конечного поля. Эндоморфизм Фробениуса. Классификация конечных полей (полей Галуа). Построение произвольного поля Галуа присоединением к полю Z_p корня неприводимого многочлена. Пример: построение поля из 4 элементов. Вложения конечных полей.

17 декабря 2019

Лекция 23

Конечномерные алгебры с делением, случай алгебраически замкнутого поля. Центр кольца и алгебры. Центральные алгебры, примеры: алгебра матриц, алгебра кватернионов. Теорема Фробениуса о конечномерных алгебрах с делением над R.