Кафедра высшей алгебры

Лектор: Д.А. Тимашёв

Лекции проходят по понедельникам на 1-й паре (9:00-10:35) в ауд. П3 и по пятницам на каждой нечётной неделе на 1-й паре (9:00-10:35) в ауд. П12.

1. А.И. Кострикин. Введение в алгебру.
   • Часть I. Основы алгебры. Глава 4.
   • Часть III. Основные структуры алгебры.
2. Э.Б. Винберг. Курс алгебры. Главы 1, 4, 9–11.

Группы (напоминание из 1-го семестра): определение, абелевы группы, мультипликативная и аддитивная терминологии. Примеры групп: аддитивные и мультипликативные группы колец и полей, матричные и линейные группы, группы движений (в т.ч. группа диэдра D_n), группы преобразований множеств (в т.ч. симметрическая группа S_n и знакопеременная группа A_n).

Гомоморфизм групп, примеры и простейшие свойства. Изоморфизм = биективный гомоморфизм. Изоморфные группы одинаковы по своим теоретико-групповым свойствам.

Примеры изоморфных и неизоморфных групп.

Подгруппы: определение и примеры. Циклические (под)группы и их свойства: порядок циклической группы, изоморфизм циклических групп одного порядка, подгруппы циклических групп.

Смежные классы по подгруппе (левые и правые), их свойства. Теорема Лагранжа и её следствия: порядок подгруппы и порядок элемента делят порядок группы, тождество g^n=e в группе порядка n, цикличность групп простого порядка.

Нормальные подгруппы, их эквивалентные определения. Факторгруппа G/H группы G по нормальной подгруппе H, пример: Z/mZ=Z_m.

Образ Imφ и ядро Kerφ гомоморфизма групп φ:G→H, их свойства, примеры. Каноническая проекция группы на факторгруппу, нормальные подгруппы = ядра гомоморфизмов.

Основная теорема о гомоморфизмах групп (изоморфизм между G/Kerφ и Imφ, задаваемый гомоморфизмом φ).

Вычисление факторгрупп с помощью основной теоремы о гомоморфизмах, примеры: R/Z≅U (единичная окружность), S_n/A_n, GL_n(K)/SL_n(K), Z/mZ≅U_m (корни степени m из 1), C*/U.

Произведение подгрупп, одна из которых нормальна, его факторизация по нормальному множителю.

Эндоморфизмы и автоморфизмы групп, группа автоморфизмов Aut G, её описание для циклических групп G. Внутренние автоморфизмы, гомоморфизм G → Aut G, его образ — нормальная подгруппа внутренних автоморфизмов Inn G, и ядро Z(G) — центр группы G. Если G неабелева, то группа Inn G — не циклическая.