Кафедра высшей алгебры

Вы посетили:



      

Различия

Здесь показаны различия между выбранной ревизией и текущей версией данной страницы.

лекции_2_курс_1_поток_осень_2019 [01.11.2019 11:48]
timashev
лекции_2_курс_1_поток_осень_2019 [17.12.2019 18:41] (текущий)
timashev
Строка 178: Строка 178:
__Ортогональные__ и __унитарные__ представления, их полная приводимость. Ортогонализуемость (унитаризуемость) конечномерных представлений конечных групп над полем **R** (**С**), следствие — новое доказательство теоремы Машке над **R** и **C**. __Ортогональные__ и __унитарные__ представления, их полная приводимость. Ортогонализуемость (унитаризуемость) конечномерных представлений конечных групп над полем **R** (**С**), следствие — новое доказательство теоремы Машке над **R** и **C**.
 +
 +----
 +
 +=== 11 ноября 2019 ===
 +
 +== Лекция 15 ==
 +
 +Инвариантность ядра и образа гомоморфизма представлений. Пространство гомоморфизмов и кольцо эндоморфизмов представления. __Лемма Шура__. Усреднение по группе линейного отображения между пространствами представлений.
 +
 +__Кратность__ неприводимого представления в разложении вполне приводимого представления, её выражение через размерность пространства гомоморфизмов (над полем **С**), единственность разложения вполне приводимого представления на неприводимые слагаемые с точностью до изоморфизма.
 +
 +Неприводимые комплексные представления абелевых групп одномерны. Описание неприводимых комплексных представлений конечных абелевых групп.
 +
 +=== 15 ноября 2019 ===
 +
 +== Лекция 16 ==
 +
 +Одномерные представления произвольных групп: сведение к случаю абелевых групп. Пример: одномерные представления группы S_n.
 +
 +Кратность неприводимого комплексного представления R конечной группы в её (левом) регулярном представлении равна dim R. Конечность числа неприводимых комплексных представлений конечной группы G, сумма квадратов их размерностей равна |G|.
 +
 +__Матричные элементы__ линейных представлений, независимость пространства матричных элементов от выбора базиса. Пример: матричные элементы регулярного представления в стандартном базисе. Матричные элементы всех неприводимых комплексных представлений конечной группы G образуют базис пространства **C**-значных функций на G, разложение пространства функций в прямую сумму пространств матричных элементов неприводимых представлений.
 +
 +Представление группы G в пространстве функций на G сопряжениями аргумента, инвариантность пространства матричных элементов любого представления. __Центральные функции__ и __характеры__ линейных представлений. Характер неприводимого комплексного представления — единственная, с точностью до пропорциональности, центральная функция в пространстве его матричных элементов.
 +
 +----
 +
 +=== 18 ноября 2019 ===
 +
 +== Лекция 17 ==
 +
 +Характеры неприводимых комплексных представлений образуют базис пространства функций на конечной группе. Характер прямой суммы представлений.
 +
 +Эрмитова структура на пространстве **C**-значных функций на конечной группе. __Соотношения ортогональности__ для матричных элементов и характеров неприводимых представлений. Вычисление кратности неприводимого представления как скалярного произведения характеров. Однозначная определяемость линейного представления своим характером.
 +
 +Описание неприводимых представлений групп S_3 и S_4. __Пример модельной задачи__ на применение теории представлений: в вершинах куба записаны 8 чисел; за один шаг число в каждой вершине заменяется на среднее арифметическое чисел в соседних вершинах; как примерно будет выглядеть распределение чисел в вершинах через много шагов?
 +
 +=== 25 ноября 2019 ===
 +
 +== Лекция 18 ==
 +
 +__Кольца__ и __алгебры__: определение, классы колец и алгебр, примеры (**Z**, **Z**_m, K[x_1,…,x_n], Mat_n(K), алгебра функций на множестве, 3-мерное евклидово пространство с операцией векторного умножения как пример __алгебры Ли__). Ненулевая алгебра с 1 над полем K содержит K в качестве подалгебры. __Структурные константы__, примеры. __Групповая алгебра__ конечной группы. __Алгебра кватернионов__ **H**, её матричная модель в Mat_2(**C**) и свойства, сопряжённый кватернион и кватернионная норма, обратимость ненулевых кватернионов. __Тела__ и __алгебры с делением__.
 +
 +__Идеалы__ в кольцах и алгебрах (левые, правые, двусторонние), примеры. __Факторкольца__ и __факторалгебры__.
 +
 +=== 29 ноября 2019 ===
 +
 +== Лекция 19 ==
 +
 +__Гомоморфизмы__ колец и алгебр, их __ядра__ и __образы__. __Основная теорема о гомоморфизмах__ колец и алгебр.
 +
 +__Прямая сумма__ колец и алгебр (внутренняя и внешняя). __Китайская теорема об остатках__ для колец вычетов и её следствие — мультипликативное свойство и явная формула для функции Эйлера.
 +
 +__Простые__ кольца и алгебры, случай коммутативных ассоциативных колец (алгебр) с 1. Простота алгебры матриц над полем.
 +
 +Идеал коммутативного ассоциативного кольца (алгебры) с 1, порождённый семейством элементов. Конечно порождённые идеалы, теорема Гильберта о базисе идеала в алгебре K[x_1,…,x_n] (без доказательства). __Главные идеалы__, кольца главных идеалов. Евклидовы кольца являются кольцами главных идеалов. K[x_1,…,x_n] не является кольцом главных идеалов при n>1.
 +
 +=== 9 декабря 2019 ===
 +
 +== Лекция 20 ==
 +
 +Факторалгебры K[x]/(f), их структура и свойства. Подстановка элемента ассоциативной алгебры с 1 в многочлен, подалгебра, порождённая элементом. __Алгебраические__ и __трансцендентные__ элементы алгебры, __минимальный многочлен__ алгебраического элемента: примеры и свойства. __Присоединение корня__ неприводимого многочлена к полю.
 +
 +=== 13 декабря 2019 ===
 +
 +== Лекция 21 ==
 +
 +Конечные и конечно порождённые расширения полей, степень расширения. Теорема о башне расширений. __Алгебраическое замыкание__ поля в его расширении. Поле (всех) __алгебраических чисел__, его мощность, существование __трансцендентных чисел__. __Поле разложения__ многочлена, его существование и единственность с точностью до изоморфизма.
 +
 +=== 16 декабря 2019 ===
 +
 +== Лекция 22 ==
 +
 +__Простые поля__, их структура, простое подполе данного поля.
 +
 +Порядок конечного поля. __Эндоморфизм Фробениуса__. Классификация конечных полей (__полей Галуа__). Построение произвольного поля Галуа присоединением к полю **Z**_p корня неприводимого многочлена. Пример: построение поля из 4 элементов. Вложения конечных полей.
 +
 +=== 17 декабря 2019 ===
 +
 +== Лекция 23 ==
 +
 +Конечномерные алгебры с делением, случай алгебраически замкнутого поля. __Центр__ кольца и алгебры. __Центральные алгебры__, примеры: алгебра матриц, алгебра кватернионов. __Теорема Фробениуса__ о конечномерных алгебрах с делением над **R**.