Лектор Гордиенко Алексей Сергеевич

Программа коллоквиума

1) 03.09.2022. Приложения алгебры в математике, физике и др. науках. Организационные моменты. Множества с бинарной операцией, полугруппы, моноиды, группы. Абелевы группы. Подгруппы. Левые и правые смежные классы. Циклические группы. Строение подгрупп в циклических группах. Примеры групп: симметрическая, знакопеременная, четверная группа Клейна V_4, группа кватернионов Q_8, группа диэдра D_n. Гомоморфизм, изоморфизм групп. Эндоморфизм, автоморфизм группы.

Упражнение*: показать, что в определении группы достаточно требовать только существования левой единицы и левого обратного. Всё равно левый обратный окажется и правым, а левая единица - в том числе и правой, т.е. полученная алгебраическая структура будет группой.

2) 05.09.2022. Ядро гомоморфизма. Нормальная подгруппа. Факторгруппа. Теорема о гомоморфизме групп (два варианта). Внешние и внутренние автоморфизмы. Описание группы внутренних автоморфизмов. Центр группы. Факторгруппа по центру неабелевой группы не может быть циклической.

3) 12.09.2022. Ассоциативность умножения в группе кватернионов Q_8 и алгебре кватернионов (два способа). Задание умножения в алгебре при помощи структурных констант. Вложение алгебры (и группы) кватернионов в алгебру комплексных матриц 2 x 2. Пример подгруппы, нормальной в некоторой нормальной подгруппе, но не нормальной во всей группе. Единственность подгруппы из m элементов для каждого делителя m порядка циклической группы n. Соответствие между подгруппами (в т.ч. нормальными) в группе и факторгруппе. Теоремы об изоморфизме групп (вторую только сформулировали, докажем на след. лекции).

4) 17.09.2022. Доказательство второй теоремы об изоморфизме групп. Образ гомоморфизма. Прямое произведение групп. (Эквивалентные определения. Эквивалентность доказана для двух сомножителей, для n - упражнение.) Внешнее прямое произведение групп. (Упражнение: доказать, что внешнее прямое произведение групп - это группа.) Факторизация прямого произведения групп по прямому произведению нормальных подгрупп. Китайская теорема об остатках.

5) 19.09.2022. Подгруппа, порождённая множеством. Порождающие для групп S_n, A_n, SL_n(F). Свободная группа: определение через универсальное свойство и доказательство единственности; комбинаторное определение, доказательство ассоциативности; эквивалентность двух определений. Соотношения между порождающими.

6) 26.09.2022. Нормальное замыкание подмножества группы. Определяющие соотношения. Конечно определённые группы. Задание группы диэдра порождающими и определяющими соотношениями. Свободная абелева группа: универсальное свойство (упражнение: доказать единственность) и явное описание. Базис абелевой группы. Теорема о согласованных базисах. Теорема о классификации конечно порождённых абелевых группах. (Единственность доказать не успели.)

7) 01.10.2022. Доказательство единственности в теореме о классификации конечно порождённых абелевых группах. Решётки. Эквивалентность различных евклидовых метрик на конечномерных вещественных векторных пространствах. Дискретные подгруппы в евклидовых пространствах.

8) 03.10.2022. Действие группы (два эквивалентных определения). Примеры: S_n, GL_n, D_n. Орбиты, стабилизаторы. Биекция между орбитой и множеством левых смежных классов по стабилизатору. Разные орбиты не пересекаются. Сопряжённость стабилизаторов элементов одной орбиты. Действие группы на себе левыми и правыми сдвигами, действие группы на себе сопряжениями. Централизатор элемента. Нормализатор подгруппы. Нетривиальность центра конечной p-группы. Существование нормальной подгруппы конечного индекса, содержащейся в подгруппе конечного индекса. Силовские p-подгруппы. Теоремы Силова (сформулировали и доказали теорему А).

9) 10.10.2022. Доказали теорему Б. Группа порядка 15 циклическая. Коммутант. Нормальный ряд в группе. Ряд из коммутантов. Разрешимая группа. Простейшие свойства. Достаточные условия разрешимости в терминах нормальной подгруппы и факторгруппы по ней. Группы с операторами.

10) 15.10.2022. Композиционный ряд. Теорема Жордана - Гёльдера. Теорема Шрайера. Лемма Цассенхауза о бабочке. Факторгруппа свободной группы по коммутанту является свободной абелевой группой. Инвариантность ранга свободной группы (через теорему о конечно порождённых абелевых группах).

11) 17.10.2022. Классы сопряжённости в группах S_n и A_n. Простота группы A_n при n>=5. Простота группы SO_3(R).

12) 24.10.2022. Коммутант SL_n и GL_n при n>= 3 или |F|>3. Разрешимость группы верхнетреугольных матриц. Группа порядка p^2 абелева. Группа порядка p^k разрешима. Группа вращений куба. Сюръективный гомоморфизм S_4 → S_3.

13) 29.10.2022. Лемма Бернсайда. Число раскрасок сторон квадрата в n цветов. Комплекс (необязательно абелевых) групп и его группы гомологий. Применение (ко)гомологий в топологии, геометрии и алгебре. Точная последовательность. Расширение группы. Полупрямое произведение групп. Примеры. Критерий расщепляемости короткой точной последовательности групп.

Упражнение. Показать, что внешнее полупрямое произведение является группой.

Упражнение. Показать, что внутреннее полупрямое произведение изоморфно соответствующему внешнему полупрямому произведению.

(продолжение следует)

Примечание. Упражнения со знаком * являются необязательными (хотя они могут быть и очень простыми). Прочие упражнения являются обязательными и входят в программу экзамена.

Литература.

1. Кострикин А.И. Введение в алгебру.

2. Винберг Э.Б. Курс алгебры.

3. Ван дер Варден Б.Л. Алгебра. (Очень хорошая и интересная книга, можно просто взять и читать, не отрываясь, но терминология достаточно архаичная: например, факторкольцо называется кольцом классов вычетов.)

4. Ленг С. Алгебра. (Достаточно сложная книга для первого ознакомления. Автор вовсю использует язык стрелок и коммутативных диаграмм.)