Кафедра высшей алгебры

Лектор Гордиенко Алексей Сергеевич

Программа коллоквиума

1) 02.09.2024. Магмы (=множества с бинарной операцией), полугруппы, моноиды, группы.

Упражнение. Показать единственность единицы в моноиде.

Упражнение. Показать единственность обратного к элементу моноида, если обратный существует.

Упражнение*: показать, что в определении группы достаточно требовать только существования левой единицы и левого обратного. Всё равно левый обратный окажется и правым, а левая единица - в том числе и правой, т.е. полученная алгебраическая структура будет группой.

Упражнение*: привести пример полугруппы с левой единицей и правыми обратными, которая не является группой.

Подгруппы. Примеры групп: симметрическая, знакопеременная, четверная группа Клейна V_4, группа диэдра D_n. Алгебра кватернионов H и группа кватернионов Q_8, их ассоциативность (двумя способами). Гомоморфизм групп. Левые и правые смежные классы. Ядро и образ гомоморфизма. Нормальная подгруппа. Сопряжённые элементы. Формула для сопряжения в группе подстановок. Пример подгруппы, нормальной в некоторой нормальной подгруппе, но не нормальной во всей группе.

2) 04.09.2024. Доказательство того, что ядро - нормальная подгруппа. Абелевы группы. Индекс подгруппы. Вспомнили теорему Лагранжа о конечных группах. Факторгруппа. Теорема о гомоморфизме групп (два варианта). Внешние и внутренние автоморфизмы. Описание группы внутренних автоморфизмов. Центр группы. Факторгруппа по центру неабелевой группы не может быть циклической. Соответствие между подгруппами (в т.ч. нормальными) в группе и факторгруппе.

3) 09.09.2024. Теоремы об изоморфизме групп. Прямое произведение групп. (Эквивалентные определения.) Внешнее прямое произведение групп. Примеры.

4) 16.09.2024. Факторизация прямого произведения групп по прямому произведению нормальных подгрупп. Китайская теорема об остатках. Подгруппа, порождённая множеством. Порождающие для групп S_n, A_n, SL_n(k). Свободная группа: определение через универсальное свойство и доказательство единственности; комбинаторное определение. Классы эквивалентности слов. Приведённые слова.

5) 18.09.2024. Структура группы на фактормножестве в комбинаторном определении свободной группы. Эквивалентность двух определений свободной группы. Соотношения между порождающими. Нормальное замыкание подмножества группы. Определяющие соотношения. Конечно определённые группы. Задание группы диэдра порождающими и определяющими соотношениями. Инвариантность ранга свободной группы.

6) 23.09.2024. Свободная абелева группа: универсальное свойство (упражнение: доказать единственность) и явное описание. Базис абелевой группы. Теорема о согласованных базисах. Теорема о классификации конечно порождённых абелевых групп.

7) 30.09.2024. Полупрямое произведение групп. Примеры.

Упражнение. Показать, что внешнее полупрямое произведение является группой.

Упражнение. Показать, что внутреннее полупрямое произведение изоморфно соответствующему внешнему полупрямому произведению.

Комплекс (необязательно абелевых) групп и его группы гомологий. Применение (ко)гомологий в топологии, геометрии и алгебре. Точная последовательность. Расширение группы. Критерий расщепляемости короткой точной последовательности групп.

Упражнение. Показать, что точная последовательность 0 → V_4 → S_4 → S_3 → 0 расщепляется, а

0 → Z_2 → Q_8 → V_4 → 0

и

0 → Z_4 → Q_8 → Z_2 → 0

- нет.

Действие группы (два эквивалентных определения). Примеры: S_n, GL_n, D_n.

8) 02.10.2024. Орбиты, стабилизаторы. Биекция между орбитой и множеством левых смежных классов по стабилизатору. Разные орбиты не пересекаются. Сопряжённость стабилизаторов элементов одной орбиты. Действие группы на себе левыми и правыми сдвигами, действие группы на себе сопряжениями. Централизатор элемента. Нормализатор подгруппы. Нетривиальность центра конечной p-группы. Группа порядка p^2 абелева. Существование нормальной подгруппы конечного индекса, содержащейся в подгруппе конечного индекса. Лемма Бернсайда. Число раскрасок сторон квадрата в n цветов. Силовские p-подгруппы. Теоремы Силова (сформулировали теоремы А и Б и доказали теорему А).

9) 07.10.2024. Теорема Кэли. Доказали теорему Б. Группа порядка 15 циклическая. Коммутант. Факторгруппа свободной группы по коммутанту является свободной абелевой группой. Субнормальный ряд в группе. Ряд из коммутантов. Разрешимая группа. Простейшие свойства. Достаточные условия разрешимости в терминах нормальной подгруппы и факторгруппы по ней.

10) 14.10.2024. Группа порядка p^k разрешима. Лемма Цассенхауза о бабочке. Теорема Шрейера. Композиционный ряд. Теорема Жордана - Гёльдера. Группы с операторами.

11) 16.10.2024. Классы сопряжённости в группах S_n и A_n.

Упражнение. Показать, что если нормальная подгруппа в A_n содержит тройной цикл, то она совпадает с A_n. (Для n >= 5 доказали на лекции, вам нужно проверить для остальных n.)

Простота группы A_n при n>=5. Простота группы SO_3(R).

12) 21.10.2024. Кручение в абелевой группе. Период группы. В любой периодической абелевой группе существует элемент, порядок которого равен периоду. Критерий цикличности конечной абелевой группы в терминах периода. Конечная подгруппа мультипликативной группы поля циклическая. Решётки. Эквивалентность различных евклидовых метрик на конечномерных вещественных векторных пространствах. Дискретные подгруппы в евклидовых пространствах.

Упражнение. Доказать, что подгруппа A группы (V,+) для некоторого конечномерного евклидова пространства V является дискретным подмножеством, если и только если в любом ограниченном подмножестве пространства V содержится лишь конечное элементов подгруппы A.

13) 28.10.2024. Группа автоморфизмов циклической группы. Строение групп порядка pq. Группа вращений куба. Сюръективный гомоморфизм S_4 → S_3. Коммутант SL_n(k) и GL_n(k) при n>= 3.

14) 30.10.2024. Коммутант SL_n(k) и GL_n(k) при n=2 и |k|>3. Разрешимость группы верхнетреугольных матриц. Линейные представления групп. Матричные представления. Гомоморфизм представлений. Изоморфизм (эквивалентность, подобие). Инвариантные подпространства и подпредставления. Прямая сумма представлений. Неприводимые представления. Вполне приводимые представления.

15) 11.11.2024. Свойство отщепляемости. Для конечномерных представлений свойство отщепляемости эквивалентно свойству полной приводимости. Неприводимые представления абелевых групп и конечно порождённых абелевых групп. Циклические представления. Группа одномерных характеров. Трюк Машке. Теорема Машке.

16) 13.11.2024. Лемма Шура. Характеры представлений. Соотношения ортогональности для характеров. Регулярное представление, его характер. Если регулярное представление вполне приводимо, то и любое конечномерное представление вполне приводимо. Сумма квадратов размерностей неприводимых представлений равна порядку группы.

17) 18.11.2024. Центральные функции на группе, варианты задания скалярного произведения на пространстве центральных функций. Неприводимые характеры образуют ортонормированный базис в пространстве центральных функций, откуда число неприводимых представлений равно числу классов сопряжённости элементов группы. Единственность разложения представления в прямую сумму неприводимых подпредставлений (тремя способами с разными условиями на основное поле и представление: 1) через характеры; 2) через изотипические компоненты; 3) через теорему Жордана - Гёльдера). Понятие о неприводимых представлениях симметрической группы. Разбиения. Диаграммы Юнга. Формула крюков (без доказательства). Мономиальное представление симметрической группы.

18) 25.11.2024. Тензорное произведение представлений и его характер. Подпредставления мономиального представления симметрической группы. Неприводимые представления групп S_2, S_3 и S_4. Кольцо. Кольцо с единицей. Коммутативное, ассоциативное кольцо. Подкольцо. Гомоморфизм колец. Ядро гомоморфизма. Левые, правые, двухсторонние идеалы. Гомоморфизм колец. Факторкольцо. Канонический гомоморфизм и его ядро. Теорема о гомоморфизме колец (два варианта). Соответствие между подкольцами, левыми, правыми, двухсторонними идеалами в факторкольце и исходном кольце.

19) 27.11.2024. Образ гомоморфизма. Теоремы об изоморфизме. Тела (=алгебры с делением). Поля. Алгебры. Центр кольца. Ненулевое кольцо с единицей - алгебра над полем, если только если это поле лежит в центре кольца. В теле нет нетривиальных односторонних и двухсторонних идеалов. Центр тела - поле. Тело кватернионов. Алгебры с делением. Идеалы в кольце квадратных матриц над кольцом с единицей. Простое кольцо. Простота кольца квадратных матрицы над телом. Центральные простые алгебры. Матричная алгебра над полем - центральная простая. Главные идеалы. Кольца главных идеалов (к.г.и.). Евклидовы кольца. Примеры. Евклидово кольцо содержит единицу и является к.г.и. Делимость в коммутативных кольцах с единицей, неприводимые элементы. Связь делимости элементов и включения идеалов, неприводимости элементов и максимальности идеалов в к.г.и.

(продолжение следует)

Примечание. Упражнения со знаком * являются необязательными (хотя они могут быть и очень простыми). Прочие упражнения являются обязательными и входят в программу экзамена.

Лекции по алгебре, 3 семестр (в процессе написания)

Литература.

1. Кострикин А.И. Введение в алгебру.

2. Винберг Э.Б. Курс алгебры.

3. Ван дер Варден Б.Л. Алгебра. (Очень хорошая и интересная книга, можно просто взять и читать, не отрываясь, но терминология достаточно архаичная: например, факторкольцо называется кольцом классов вычетов.)

4. Ленг С. Алгебра. (Достаточно сложная книга для первого ознакомления. Автор вовсю использует язык стрелок и коммутативных диаграмм.)