| Предыдущая версия справа и слева
Предыдущая версия
|
|
лекции_2_курс_1_поток_осень_2024 [08.04.2025 16:43]
127.0.0.1 внешнее изменение |
лекции_2_курс_1_поток_осень_2024 [31.10.2026 01:51] (текущий)
gordienko |
| __Упражнение*:__ привести пример полугруппы с левой единицей и правыми обратными, которая не является группой. | __Упражнение*:__ привести пример полугруппы с левой единицей и правыми обратными, которая не является группой. |
| |
| Подгруппы. Примеры групп: симметрическая, знакопеременная, четверная группа Клейна V_4, группа диэдра D_n. | Подгруппы. Примеры групп: симметрическая, знакопеременная, четверная группа Клейна $V_4$, группа диэдра $D_n$. |
| Алгебра кватернионов H и группа кватернионов Q_8, их ассоциативность (двумя способами). | Алгебра кватернионов $\mathbb H$ и группа кватернионов $Q_8$, их ассоциативность (двумя способами). |
| Гомоморфизм групп. Левые и правые смежные классы. | Гомоморфизм групп. Левые и правые смежные классы. |
| Ядро и образ гомоморфизма. Нормальная подгруппа. Сопряжённые элементы. Формула для сопряжения в группе подстановок. Пример подгруппы, нормальной в некоторой нормальной подгруппе, но не нормальной во всей группе. | Ядро и образ гомоморфизма. Нормальная подгруппа. Сопряжённые элементы. Формула для сопряжения в группе подстановок. Пример подгруппы, нормальной в некоторой нормальной подгруппе, но не нормальной во всей группе. |
| 3) **09.09.2024.** Теоремы об изоморфизме групп. Прямое произведение групп. (Эквивалентные определения.) Внешнее прямое произведение групп. Примеры. | 3) **09.09.2024.** Теоремы об изоморфизме групп. Прямое произведение групп. (Эквивалентные определения.) Внешнее прямое произведение групп. Примеры. |
| |
| 4) **16.09.2024.** Факторизация прямого произведения групп по прямому произведению нормальных подгрупп. Китайская теорема об остатках. Подгруппа, порождённая множеством. Порождающие для групп S_n, A_n, SL_n(k). Свободная группа: определение через универсальное свойство и доказательство единственности; комбинаторное определение. Классы эквивалентности слов. Приведённые слова. | 4) **16.09.2024.** Факторизация прямого произведения групп по прямому произведению нормальных подгрупп. Китайская теорема об остатках. Подгруппа, порождённая множеством. Порождающие для групп $S_n$, $A_n$, $\mathrm{SL}_n(\mathbb k)$. Свободная группа: определение через универсальное свойство и доказательство единственности; комбинаторное определение. Классы эквивалентности слов. Приведённые слова. |
| |
| 5) **18.09.2024.** Структура группы на фактормножестве в комбинаторном определении свободной группы. Эквивалентность двух определений свободной группы. Соотношения между порождающими. Нормальное замыкание подмножества группы. Определяющие соотношения. Конечно определённые группы. Задание группы диэдра порождающими и определяющими соотношениями. Инвариантность ранга свободной группы. | 5) **18.09.2024.** Структура группы на фактормножестве в комбинаторном определении свободной группы. Эквивалентность двух определений свободной группы. Соотношения между порождающими. Нормальное замыкание подмножества группы. Определяющие соотношения. Конечно определённые группы. Задание группы диэдра порождающими и определяющими соотношениями. Инвариантность ранга свободной группы. |
| Комплекс (необязательно абелевых) групп и его группы гомологий. Применение (ко)гомологий в топологии, геометрии и алгебре. Точная последовательность. Расширение группы. Критерий расщепляемости короткой точной последовательности групп. | Комплекс (необязательно абелевых) групп и его группы гомологий. Применение (ко)гомологий в топологии, геометрии и алгебре. Точная последовательность. Расширение группы. Критерий расщепляемости короткой точной последовательности групп. |
| |
| __Упражнение.__ Показать, что точная последовательность 0 → V_4 → S_4 → S_3 → 0 расщепляется, а | __Упражнение.__ Показать, что точная последовательность $0 \to V_4 \to S_4 \to S_3 \to 0$ расщепляется, а |
| |
| 0 → Z_2 → Q_8 → V_4 → 0 | $0 \to Z_2 \to Q_8 \to V_4 \to 0$ |
| |
| и | и |
| |
| 0 → Z_4 → Q_8 → Z_2 → 0 | $0 \to Z_4 \to Q_8 \to Z_2 \to 0$ |
| |
| - нет. | - нет. |
| |
| Действие группы (два эквивалентных определения). Примеры: S_n, GL_n, D_n. | Действие группы (два эквивалентных определения). Примеры: $S_n$, $\mathrm{GL}_n(\mathbb k)$, $D_n$. |
| |
| 8) **02.10.2024.** Орбиты, стабилизаторы. Биекция между орбитой и множеством левых смежных классов по стабилизатору. Разные орбиты не пересекаются. Сопряжённость стабилизаторов элементов одной орбиты. Действие группы на себе левыми и правыми сдвигами, действие группы на себе сопряжениями. Централизатор элемента. Нормализатор подгруппы. Нетривиальность центра конечной p-группы. Группа порядка p^2 абелева. Существование нормальной подгруппы конечного индекса, содержащейся в подгруппе конечного индекса. Лемма Бернсайда. Число раскрасок сторон квадрата в n цветов. Силовские p-подгруппы. Теоремы Силова (сформулировали теоремы А и Б и доказали теорему А). | 8) **02.10.2024.** Орбиты, стабилизаторы. Биекция между орбитой и множеством левых смежных классов по стабилизатору. Разные орбиты не пересекаются. Сопряжённость стабилизаторов элементов одной орбиты. Действие группы на себе левыми и правыми сдвигами, действие группы на себе сопряжениями. Централизатор элемента. Нормализатор подгруппы. Теорема Кэли. Нетривиальность центра конечной $p$-группы. Группа порядка $p^2$ абелева. Существование нормальной подгруппы конечного индекса, содержащейся в подгруппе конечного индекса. Лемма Бернсайда. Число раскрасок сторон квадрата в $n$ цветов. Силовские p-подгруппы. Теоремы Силова (сформулировали теоремы А и Б и доказали теорему А). |
| |
| 9) **07.10.2024.** Теорема Кэли. Доказали теорему Б. Группа порядка 15 циклическая. Коммутант. Факторгруппа свободной группы по коммутанту является свободной абелевой группой. Субнормальный ряд в группе. Ряд из коммутантов. Разрешимая группа. Простейшие свойства. Достаточные условия разрешимости в терминах нормальной подгруппы и факторгруппы по ней. | 9) **07.10.2024.** Доказали теорему Б. Группа порядка $15$ циклическая. Коммутант. Факторгруппа свободной группы по коммутанту является свободной абелевой группой. Субнормальный ряд в группе. Ряд из коммутантов. Разрешимая группа. Простейшие свойства. Достаточные условия разрешимости в терминах нормальной подгруппы и факторгруппы по ней. |
| |
| 10) **14.10.2024.** Группа порядка p^k разрешима. Лемма Цассенхауза о бабочке. Теорема Шрейера. Композиционный ряд. Теорема Жордана - Гёльдера. Группы с операторами. | 10) **14.10.2024.** Группа порядка $p^k$ разрешима. Лемма Цассенхауза о бабочке. Теорема Шрейера. Композиционный ряд. Теорема Жордана - Гёльдера. Группы с операторами. |
| |
| 11) **16.10.2024.** Классы сопряжённости в группах S_n и A_n. | 11) **16.10.2024.** Классы сопряжённости в группах $S_n$ и $A_n$. |
| |
| __Упражнение__. Показать, что если нормальная подгруппа в A_n содержит тройной цикл, то она совпадает с A_n. (Для n >= 5 доказали на лекции, вам нужно проверить для остальных n.) | __Упражнение__. Показать, что если нормальная подгруппа в $A_n$ содержит тройной цикл, то она совпадает с $A_n$. (Для $n\geqslant 5$ доказали на лекции, вам нужно проверить для остальных $n$.) |
| |
| Простота группы A_n при n>=5. Простота группы SO_3(R). | Простота группы $A_n$ при $n\geqslant 5$. Простота группы $\mathrm{SO}_3(\mathbb R)$. |
| |
| 12) **21.10.2024.** Кручение в абелевой группе. Период группы. В любой периодической абелевой группе существует элемент, порядок которого равен периоду. Критерий цикличности конечной абелевой группы в терминах периода. Конечная подгруппа мультипликативной группы поля циклическая. Решётки. Эквивалентность различных евклидовых метрик на конечномерных вещественных векторных пространствах. Дискретные подгруппы в евклидовых пространствах. | 12) **21.10.2024.** Кручение в абелевой группе. Период группы. В любой периодической абелевой группе существует элемент, порядок которого равен периоду. Критерий цикличности конечной абелевой группы в терминах периода. Конечная подгруппа мультипликативной группы поля циклическая. Решётки. Эквивалентность различных евклидовых метрик на конечномерных вещественных векторных пространствах. Дискретные подгруппы в евклидовых пространствах. |
| |
| __Упражнение.__ Доказать, что подгруппа A группы (V,+) для некоторого конечномерного евклидова пространства V является дискретным подмножеством, если и только если в любом ограниченном подмножестве пространства V содержится лишь конечное элементов подгруппы A. | __Упражнение.__ Доказать, что подгруппа $A$ группы $(V,+)$ для некоторого конечномерного евклидова пространства $V$ является дискретным подмножеством, если и только если в любом ограниченном подмножестве пространства $V$ содержится лишь конечное элементов подгруппы $A$. |
| |
| 13) **28.10.2024.** Группа автоморфизмов циклической группы. Строение групп порядка pq. Группа вращений куба. Сюръективный гомоморфизм S_4 → S_3. Коммутант SL_n(k) и GL_n(k) при n>= 3. | 13) **28.10.2024.** Группа автоморфизмов циклической группы. Строение групп порядка $pq$. Группа вращений куба. Сюръективный гомоморфизм $S_4\to S_3$. Коммутант $\mathrm{SL}_n(\mathbb k)$ и $\mathrm{GL}_n(\mathbb k)$ при $n\geqslant 3$. |
| |
| 14) **30.10.2024.** Коммутант SL_n(k) и GL_n(k) при n=2 и |k|>3. Разрешимость группы верхнетреугольных матриц. Линейные представления групп. Матричные представления. Гомоморфизм представлений. Изоморфизм (эквивалентность, подобие). Инвариантные подпространства и подпредставления. Прямая сумма представлений. Неприводимые представления. Вполне приводимые представления. | 14) **30.10.2024.** Коммутант $\mathrm{SL}_n(\mathbb k)$ и $\mathrm{GL}_n(\mathbb k)$ при $n=2$ и $|k|>3$. Разрешимость группы верхнетреугольных матриц. Линейные представления групп. Матричные представления. Гомоморфизм представлений. Изоморфизм (эквивалентность, подобие). Инвариантные подпространства и подпредставления. Прямая сумма представлений. Неприводимые представления. Вполне приводимые представления. |
| |
| 15) **11.11.2024.** Свойство отщепляемости. Для конечномерных представлений свойство отщепляемости эквивалентно свойству полной приводимости. Неприводимые представления абелевых групп и конечно порождённых абелевых групп. Циклические представления. Группа одномерных характеров. Трюк Машке. Теорема Машке. | 15) **11.11.2024.** Свойство отщепляемости. Для конечномерных представлений свойство отщепляемости эквивалентно свойству полной приводимости. Неприводимые представления абелевых групп и конечно порождённых абелевых групп. Циклические представления. Группа одномерных характеров. Трюк Машке. Теорема Машке. |
| |
| 16) **13.11.2024.** Лемма Шура. Характеры представлений. Соотношения ортогональности для характеров. | 16) **13.11.2024.** Лемма Шура. Характеры представлений. Соотношения ортогональности для характеров. |
| Регулярное представление, его характер. Если регулярное представление вполне приводимо, то и любое конечномерное представление вполне приводимо. Сумма квадратов размерностей неприводимых представлений равна порядку группы. | Регулярное представление, его характер. Если регулярное представление вполне приводимо, то и любое конечномерное представление вполне приводимо. Центральные функции на группе, варианты задания скалярного произведения на пространстве центральных функций. Неприводимые характеры образуют ортонормированный базис в пространстве центральных функций, откуда число неприводимых представлений равно числу классов сопряжённости элементов группы. |
| |
| 17) **18.11.2024.** Центральные функции на группе, варианты задания скалярного произведения на пространстве центральных функций. Неприводимые характеры образуют ортонормированный базис в пространстве центральных функций, откуда число неприводимых представлений равно числу классов сопряжённости элементов группы. Единственность разложения представления в прямую сумму неприводимых подпредставлений (тремя способами с разными условиями на основное поле и представление: 1) через характеры; 2) через изотипические компоненты; 3) через теорему Жордана - Гёльдера). Понятие о неприводимых представлениях симметрической группы. Разбиения. Диаграммы Юнга. Формула крюков (без доказательства). Мономиальное представление симметрической группы. | 17) **18.11.2024.** Сумма квадратов размерностей неприводимых представлений равна порядку группы. Единственность разложения представления в прямую сумму неприводимых подпредставлений (тремя способами с разными условиями на основное поле и представление: 1) через характеры; 2) через изотипические компоненты; 3) через теорему Жордана - Гёльдера). Понятие о неприводимых представлениях симметрической группы. Разбиения. Диаграммы Юнга. Формула крюков (без доказательства). Мономиальное представление симметрической группы. |
| |
| 18) **25.11.2024.** Тензорное произведение представлений и его характер. Подпредставления мономиального представления симметрической группы. Неприводимые представления групп S_2, S_3 и S_4. Кольцо. Кольцо с единицей. Коммутативное, ассоциативное кольцо. Подкольцо. Гомоморфизм колец. Ядро гомоморфизма. Левые, правые, двухсторонние идеалы. Гомоморфизм колец. Факторкольцо. Канонический гомоморфизм и его ядро. Теорема о гомоморфизме колец (два варианта). Соответствие между подкольцами, левыми, правыми, двухсторонними идеалами в факторкольце и исходном кольце. | 18) **25.11.2024.** Тензорное произведение представлений и его характер. Подпредставления мономиального представления симметрической группы. Неприводимые представления групп $S_2$, $S_3$ и $S_4$. Кольцо. Кольцо с единицей. Коммутативное, ассоциативное кольцо. Подкольцо. Гомоморфизм колец. Ядро гомоморфизма. Левые, правые, двухсторонние идеалы. Гомоморфизм колец. Факторкольцо. Канонический гомоморфизм и его ядро. Теорема о гомоморфизме колец (два варианта). Соответствие между подкольцами, левыми, правыми, двухсторонними идеалами в факторкольце и исходном кольце. |
| |
| 19) **27.11.2024.** Образ гомоморфизма. Теоремы об изоморфизме. Тела (=алгебры с делением). Поля. Алгебры. Центр кольца. Ненулевое кольцо с единицей - алгебра над полем, если только если это поле лежит в центре кольца. В теле нет нетривиальных односторонних и двухсторонних идеалов. Центр тела - поле. Тело кватернионов. Алгебры с делением. Идеалы в кольце квадратных матриц над кольцом с единицей. Простое кольцо. Простота кольца квадратных матрицы над телом. Центральные простые алгебры. Матричная алгебра над полем - центральная простая. Главные идеалы. Кольца главных идеалов (к.г.и.). Евклидовы кольца. Примеры. Евклидово кольцо содержит единицу и является к.г.и. Делимость в коммутативных кольцах с единицей, неприводимые элементы. Связь делимости элементов и включения идеалов, неприводимости элементов и максимальности идеалов в к.г.и. | 19) **27.11.2024.** Образ гомоморфизма. Теоремы об изоморфизме. Тела (=алгебры с делением). Поля. Алгебры. Центр кольца. Ненулевое кольцо с единицей - алгебра над полем, если только если это поле лежит в центре кольца. В теле нет нетривиальных односторонних и двухсторонних идеалов. Центр тела - поле. Тело кватернионов. Алгебры с делением. Идеалы в кольце квадратных матриц над кольцом с единицей. Простое кольцо. Простота кольца квадратных матрицы над телом. Центральные простые алгебры. Матричная алгебра над полем - центральная простая. Главные идеалы. Кольца главных идеалов (к.г.и.). Евклидовы кольца. Примеры. Евклидово кольцо содержит единицу и является к.г.и. Делимость в коммутативных кольцах с единицей, неприводимые элементы. Связь делимости элементов и включения идеалов, неприводимости элементов и максимальности идеалов в к.г.и. |
| |
| 20) **02.12.2024.** Факторкольцо коммутативного кольца с 1 по некоторому идеалу является полем, если и только если этот идеал максимален. Прямое произведение колец (прямая кольцевая сумма). НОД и взаимно простые элементы в к.г.и. | 20) **02.12.2024.** Факторкольцо коммутативного кольца с $1$ по некоторому идеалу является полем, если и только если этот идеал максимален. Прямое произведение колец (прямая кольцевая сумма). НОД и взаимно простые элементы в к.г.и. |
| |
| __Упражнение*:__ доказать факторальность к.г.и. (существование и единственность с точностью до перестановки множителей и умножения на обратимые элементы разложения любого элемента на простые множители). | __Упражнение*:__ доказать факторальность к.г.и. (существование и единственность с точностью до перестановки множителей и умножения на обратимые элементы разложения любого элемента на простые множители). |
| 21) **09.12.2024.** Теорема о башне расширений. Размерность простого расширения. Алгебраическое расширение. Алгебраические элементы образуют подполе. Поле алгебраических чисел. Построение простого расширения, в котором данный неприводимый многочлен имеет корень. Поле разложения многочлена, его существование и единственность. Автоморфизмы простого расширения. Простое подполе. Характеристика поля. Конечные поля, их существование и единственность. | 21) **09.12.2024.** Теорема о башне расширений. Размерность простого расширения. Алгебраическое расширение. Алгебраические элементы образуют подполе. Поле алгебраических чисел. Построение простого расширения, в котором данный неприводимый многочлен имеет корень. Поле разложения многочлена, его существование и единственность. Автоморфизмы простого расширения. Простое подполе. Характеристика поля. Конечные поля, их существование и единственность. |
| |
| 22) **11.12.2024.** Поле GF(4). Автоморфизм Фробениуса. Группа автоморфизмов конечного поля. Критерий вложимости одного конечного поля в другое. Конечномерные алгебры с делением над полем комплексных чисел. Теорема Фробениуса об алгебрах с делением над полем вещественных чисел. Нильпотентные элементы. Ниль-кольца. Нильпотентные кольца. Алгебры Ли. Примеры. | 22) **11.12.2024.** Поле из четырёх элементов. Автоморфизм Фробениуса. Группа автоморфизмов конечного поля. Критерий вложимости одного конечного поля в другое. Конечномерные алгебры с делением над полем комплексных чисел. Теорема Фробениуса об алгебрах с делением над полем вещественных чисел. Нильпотентные элементы. Ниль-кольца. Нильпотентные кольца. Алгебры Ли. Примеры. |
| |
| 23) **16.12.2024.** Антикоммутативность в случае поля характеристики 2. | 23) **16.12.2024.** Антикоммутативность в случае поля характеристики $2$. |
| |
| __Упражнение:__ показать, что тождество Якоби эквивалентно правилу Лейбница. | __Упражнение:__ показать, что тождество Якоби эквивалентно правилу Лейбница. |
| __Упражнение:__ показать, что алгебра Ли верхнетреугольных матриц разрешима, а строго верхнетреугольных матриц нильпотента. | __Упражнение:__ показать, что алгебра Ли верхнетреугольных матриц разрешима, а строго верхнетреугольных матриц нильпотента. |
| |
| __Упражнение:__ вывести из правила Лейбница и антикоммутативности, что всякий одночлен степени n от элементов алгебры Ли является линейной комбинацией левонормированных длинных коммутаторов длины n. | __Упражнение:__ вывести из правила Лейбница и антикоммутативности, что всякий одночлен степени $n$ от элементов алгебры Ли является линейной комбинацией левонормированных длинных коммутаторов длины $n$. |
| |
| Понятие о группах Ли. Нильпотентные группы. Центральные ряды. Нижний центральный ряд. Верхний центральный ряд. Связь между ними. Критерий нильпотентности в терминах центральных рядов. Критерий нильпотентности в терминах факторгруппы по центру. Нильпотентность конечной p-группы. | Понятие о группах Ли. Нильпотентные группы. Центральные ряды. Нижний центральный ряд. Верхний центральный ряд. Связь между ними. Критерий нильпотентности в терминах центральных рядов. Критерий нильпотентности в терминах факторгруппы по центру. Нильпотентность конечной $p$-группы. |
| |
| __Примечание.__ Упражнения со знаком * являются необязательными (хотя они могут быть и очень простыми). Прочие упражнения являются обязательными и входят в программу экзамена. | __Примечание.__ Упражнения со знаком * являются необязательными (хотя они могут быть и очень простыми). Прочие упражнения являются обязательными и входят в программу экзамена. |
