Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- лекции_2_курс_1_поток_осень_2024 [16.10.2024 14:45]
gordienko
+++ лекции_2_курс_1_поток_осень_2024 [08.04.2025 16:43] (текущий)
@@ Строка 1: / Строка 1: @@
 ==== Алгебра, 3 семестр, лекции, мехмат МГУ, 201-207 группы, осенний семестр 2024/2025 ====
 **Лектор [[:staff:gordienko|Гордиенко Алексей Сергеевич]]**
+**[[https://disk.yandex.ru/i/Jsl4c7gl5q5LxA|Программа коллоквиума]]**
+**[[https://disk.yandex.ru/i/0K2nlrFOFJNDbg|Программа экзамена]]**
 ) **02.09.2024.** Магмы (=множества с бинарной операцией), полугруппы, моноиды, группы.
@@ Строка 59: / Строка 63: @@
 Простота группы A_n при n>=5. Простота группы SO_3(R).
-(продолжение следует)
+) **21.10.2024.** Кручение в абелевой группе. Период группы. В любой периодической абелевой группе существует элемент, порядок которого равен периоду. Критерий цикличности конечной абелевой группы в терминах периода. Конечная подгруппа мультипликативной группы поля циклическая. Решётки. Эквивалентность различных евклидовых метрик на конечномерных вещественных векторных пространствах. Дискретные подгруппы в евклидовых пространствах.
+__Упражнение.__ Доказать, что подгруппа A группы (V,+) для некоторого конечномерного евклидова пространства V является дискретным подмножеством, если и только если в любом ограниченном подмножестве пространства V содержится лишь конечное элементов подгруппы A.
+) **28.10.2024.** Группа автоморфизмов циклической группы. Строение групп порядка pq. Группа вращений куба. Сюръективный гомоморфизм S_4 → S_3. Коммутант SL_n(k) и GL_n(k) при n>= 3.
+) **30.10.2024.** Коммутант SL_n(k) и GL_n(k) при n=2 и |k|>3. Разрешимость группы верхнетреугольных матриц. Линейные представления групп. Матричные представления. Гомоморфизм представлений. Изоморфизм (эквивалентность, подобие). Инвариантные подпространства и подпредставления. Прямая сумма представлений. Неприводимые представления. Вполне приводимые представления.
+) **11.11.2024.** Свойство отщепляемости. Для конечномерных представлений свойство отщепляемости эквивалентно свойству полной приводимости. Неприводимые представления абелевых групп и конечно порождённых абелевых групп. Циклические представления. Группа одномерных характеров. Трюк Машке. Теорема Машке.
+) **13.11.2024.** Лемма Шура. Характеры представлений. Соотношения ортогональности для характеров.
+Регулярное представление, его характер. Если регулярное представление вполне приводимо, то и любое конечномерное представление вполне приводимо. Сумма квадратов размерностей неприводимых представлений равна порядку группы.
+) **18.11.2024.** Центральные функции на группе, варианты задания скалярного произведения на пространстве центральных функций. Неприводимые характеры образуют ортонормированный базис в пространстве центральных функций, откуда число неприводимых представлений равно числу классов сопряжённости элементов группы. Единственность разложения представления в прямую сумму неприводимых подпредставлений (тремя способами с разными условиями на основное поле и представление: 1) через характеры; 2) через изотипические компоненты; 3) через теорему Жордана - Гёльдера). Понятие о неприводимых представлениях симметрической группы. Разбиения. Диаграммы Юнга. Формула крюков (без доказательства). Мономиальное представление симметрической группы.
+) **25.11.2024.** Тензорное произведение представлений и его характер. Подпредставления мономиального представления симметрической группы.  Неприводимые представления групп S_2, S_3 и S_4. Кольцо. Кольцо с единицей. Коммутативное, ассоциативное кольцо. Подкольцо. Гомоморфизм колец. Ядро гомоморфизма. Левые, правые, двухсторонние идеалы. Гомоморфизм колец. Факторкольцо. Канонический гомоморфизм и его ядро. Теорема о гомоморфизме колец (два варианта).  Соответствие между подкольцами, левыми, правыми, двухсторонними идеалами в факторкольце и исходном кольце.
+) **27.11.2024.** Образ гомоморфизма. Теоремы об изоморфизме. Тела (=алгебры с делением). Поля. Алгебры. Центр кольца. Ненулевое кольцо с единицей - алгебра над полем, если только если это поле лежит в центре кольца. В теле нет нетривиальных односторонних и двухсторонних идеалов. Центр тела - поле. Тело кватернионов.  Алгебры с делением. Идеалы в кольце квадратных матриц над кольцом с единицей. Простое кольцо. Простота кольца квадратных матрицы над телом. Центральные простые алгебры. Матричная алгебра над полем - центральная простая. Главные идеалы. Кольца главных идеалов (к.г.и.). Евклидовы кольца. Примеры. Евклидово кольцо содержит единицу и является к.г.и. Делимость в коммутативных кольцах с единицей, неприводимые элементы. Связь делимости элементов и включения идеалов, неприводимости элементов и максимальности идеалов в к.г.и.
+) **02.12.2024.** Факторкольцо коммутативного кольца с 1 по некоторому идеалу является полем, если и только если этот идеал максимален. Прямое произведение колец (прямая кольцевая сумма). НОД и взаимно простые элементы в к.г.и.
+__Упражнение*:__ доказать факторальность к.г.и. (существование и единственность с точностью до перестановки множителей и умножения на обратимые элементы разложения любого элемента на простые множители).
+Лемма о делимости произведения на элемент, взаимно простой с одним из множителей. Произведение двух элементов, взаимно простых с данным элементом, также взаимно просто с ним.
+Китайская теорема об остатках для к.г.и. Расширение поля. Простое расширение. Алгебраические и трансцендентные элементы. Минимальный многочлен алгебраического элемента расширения поля неприводим. Строение простого расширения. Конечные расширения. Степень расширения.
+) **09.12.2024.** Теорема о башне расширений. Размерность простого расширения. Алгебраическое расширение. Алгебраические элементы образуют подполе. Поле алгебраических чисел. Построение простого расширения, в котором данный неприводимый многочлен имеет корень. Поле разложения многочлена, его существование и единственность. Автоморфизмы простого расширения. Простое подполе. Характеристика поля. Конечные поля, их существование и единственность.
+) **11.12.2024.** Поле GF(4). Автоморфизм Фробениуса. Группа автоморфизмов конечного поля. Критерий вложимости одного конечного поля в другое. Конечномерные алгебры с делением над полем комплексных чисел. Теорема Фробениуса об алгебрах с делением над полем вещественных чисел. Нильпотентные элементы. Ниль-кольца. Нильпотентные кольца. Алгебры Ли. Примеры.
+) **16.12.2024.** Антикоммутативность в случае поля характеристики 2.
+__Упражнение:__ показать, что тождество Якоби эквивалентно правилу Лейбница.
+__Упражнение:__ показать, что алгебра Ли верхнетреугольных матриц разрешима, а строго верхнетреугольных матриц нильпотента.
+__Упражнение:__ вывести из правила Лейбница и антикоммутативности, что всякий одночлен степени n от элементов алгебры Ли является линейной комбинацией левонормированных длинных коммутаторов длины n.
+Понятие о группах Ли. Нильпотентные группы. Центральные ряды. Нижний центральный ряд. Верхний центральный ряд. Связь между ними. Критерий нильпотентности в терминах центральных рядов. Критерий нильпотентности в терминах факторгруппы по центру. Нильпотентность конечной p-группы.
 __Примечание.__ Упражнения со знаком * являются необязательными (хотя они могут быть и очень простыми). Прочие упражнения являются обязательными и входят в программу экзамена.
+**[[https://disk.yandex.ru/i/0FBSPIcPMe3_dw|Лекции по алгебре, 3 семестр]]**
 __Литература.__