Лектор Гордиенко Алексей Сергеевич

Программа коллоквиума (темы идут в логической последовательности, а не так, как нам было удобно их излагать на лекциях; мы рассказали ещё не все темы; чтобы найти, на какой конкретно лекции разбиралась та или иная тема, см. список тем по лекциям ниже)

1) 02.09.2024. Магмы (=множества с бинарной операцией), полугруппы, моноиды, группы.

Упражнение. Показать единственность единицы в моноиде.

Упражнение. Показать единственность обратного к элементу моноида, если обратный существует.

Упражнение*: показать, что в определении группы достаточно требовать только существования левой единицы и левого обратного. Всё равно левый обратный окажется и правым, а левая единица - в том числе и правой, т.е. полученная алгебраическая структура будет группой.

Упражнение*: привести пример полугруппы с левой единицей и правыми обратными, которая не является группой.

Подгруппы. Примеры групп: симметрическая, знакопеременная, четверная группа Клейна V_4, группа диэдра D_n. Алгебра кватернионов H и группа кватернионов Q_8, их ассоциативность (двумя способами). Гомоморфизм групп. Левые и правые смежные классы. Ядро и образ гомоморфизма. Нормальная подгруппа. Сопряжённые элементы. Формула для сопряжения в группе подстановок. Пример подгруппы, нормальной в некоторой нормальной подгруппе, но не нормальной во всей группе.

2) 04.09.2024. Доказательство того, что ядро - нормальная подгруппа. Абелевы группы. Индекс подгруппы. Вспомнили теорему Лагранжа о конечных группах. Факторгруппа. Теорема о гомоморфизме групп (два варианта). Внешние и внутренние автоморфизмы. Описание группы внутренних автоморфизмов. Центр группы. Факторгруппа по центру неабелевой группы не может быть циклической. Соответствие между подгруппами (в т.ч. нормальными) в группе и факторгруппе.

3) 09.09.2024. Теоремы об изоморфизме групп. Прямое произведение групп. (Эквивалентные определения.) Внешнее прямое произведение групп. Примеры.

4) 16.09.2024. Факторизация прямого произведения групп по прямому произведению нормальных подгрупп. Китайская теорема об остатках. Подгруппа, порождённая множеством. Порождающие для групп S_n, A_n, SL_n(k). Свободная группа: определение через универсальное свойство и доказательство единственности; комбинаторное определение. Классы эквивалентности слов. Приведённые слова.

5) 18.09.2024. Структура группы на фактормножестве в комбинаторном определении свободной группы. Эквивалентность двух определений свободной группы. Соотношения между порождающими. Нормальное замыкание подмножества группы. Определяющие соотношения. Конечно определённые группы. Задание группы диэдра порождающими и определяющими соотношениями. Инвариантность ранга свободной группы.

6) 23.09.2024. Свободная абелева группа: универсальное свойство (упражнение: доказать единственность) и явное описание. Базис абелевой группы. Теорема о согласованных базисах. Теорема о классификации конечно порождённых абелевых групп.

7) 30.09.2024. Полупрямое произведение групп. Примеры.

Упражнение. Показать, что внешнее полупрямое произведение является группой.

Упражнение. Показать, что внутреннее полупрямое произведение изоморфно соответствующему внешнему полупрямому произведению.

Комплекс (необязательно абелевых) групп и его группы гомологий. Применение (ко)гомологий в топологии, геометрии и алгебре. Точная последовательность. Расширение группы. Критерий расщепляемости короткой точной последовательности групп.

Упражнение. Показать, что точная последовательность 0 → V_4 → S_4 → S_3 → 0 расщепляется, а

0 → Z_2 → Q_8 → V_4 → 0

и

0 → Z_4 → Q_8 → Z_2 → 0

- нет.

Действие группы (два эквивалентных определения). Примеры: S_n, GL_n, D_n.

8) 02.10.2024. Орбиты, стабилизаторы. Биекция между орбитой и множеством левых смежных классов по стабилизатору. Разные орбиты не пересекаются. Сопряжённость стабилизаторов элементов одной орбиты. Действие группы на себе левыми и правыми сдвигами, действие группы на себе сопряжениями. Централизатор элемента. Нормализатор подгруппы. Нетривиальность центра конечной p-группы. Группа порядка p^2 абелева. Существование нормальной подгруппы конечного индекса, содержащейся в подгруппе конечного индекса. Лемма Бернсайда. Число раскрасок сторон квадрата в n цветов. Силовские p-подгруппы. Теоремы Силова (сформулировали теоремы А и Б и доказали теорему А).

9) 07.10.2024. Теорема Кэли. Доказали теорему Б. Группа порядка 15 циклическая. Коммутант. Факторгруппа свободной группы по коммутанту является свободной абелевой группой. Субнормальный ряд в группе. Ряд из коммутантов. Разрешимая группа. Простейшие свойства. Достаточные условия разрешимости в терминах нормальной подгруппы и факторгруппы по ней.

10) 14.10.2024. Группа порядка p^k разрешима. Лемма Цассенхауза о бабочке. Теорема Шрейера. Композиционный ряд. Теорема Жордана - Гёльдера. Группы с операторами.

11) 16.10.2024. Классы сопряжённости в группах S_n и A_n.

Упражнение. Показать, что если нормальная подгруппа в A_n содержит тройной цикл, то она совпадает с A_n. (Для n >= 5 доказали на лекции, вам нужно проверить для остальных n.)

Простота группы A_n при n>=5. Простота группы SO_3(R).

(продолжение следует)

Примечание. Упражнения со знаком * являются необязательными (хотя они могут быть и очень простыми). Прочие упражнения являются обязательными и входят в программу экзамена.

Лекции по алгебре, 3 семестр (в процессе написания)

Литература.

1. Кострикин А.И. Введение в алгебру.

2. Винберг Э.Б. Курс алгебры.

3. Ван дер Варден Б.Л. Алгебра. (Очень хорошая и интересная книга, можно просто взять и читать, не отрываясь, но терминология достаточно архаичная: например, факторкольцо называется кольцом классов вычетов.)

4. Ленг С. Алгебра. (Достаточно сложная книга для первого ознакомления. Автор вовсю использует язык стрелок и коммутативных диаграмм.)