Лектор Гордиенко Алексей Сергеевич

Программа коллоквиума

1) 02.09.2026. Магмы (=множества с бинарной операцией), полугруппы, моноиды, группы.

Упражнение. Показать единственность единицы в моноиде.

Упражнение. Показать единственность обратного к элементу моноида, если обратный существует.

Упражнение*: показать, что в определении группы достаточно требовать только существования левой единицы и левого обратного. Всё равно левый обратный окажется и правым, а левая единица - в том числе и правой, т.е. полученная алгебраическая структура будет группой.

Упражнение*: привести пример полугруппы с левой единицей и правыми обратными, которая не является группой.

Подгруппы. Примеры групп: симметрическая, знакопеременная, четверная группа Клейна $V_4$, группа диэдра $D_n$. Алгебра кватернионов $\mathbb H$ и группа кватернионов $Q_8$, их ассоциативность (двумя способами). Гомоморфизм групп. Ядро и образ гомоморфизма. Левые и правые смежные классы. Индекс подгруппы. Вспомнили теорему Лагранжа о конечных группах.

2) 07.09.2026. Нормальная подгруппа. Сопряжённые элементы. Формула для сопряжения в группе подстановок. Пример подгруппы, нормальной в некоторой нормальной подгруппе, но не нормальной во всей группе. Доказательство того, что ядро - нормальная подгруппа. Абелевы группы. Факторгруппа. Теорема о гомоморфизме групп (два варианта). Внешние и внутренние автоморфизмы. Описание группы внутренних автоморфизмов. Центр группы.

3) 14.09.2026. Факторгруппа по центру неабелевой группы не может быть циклической. Соответствие между подгруппами (в т.ч. нормальными) в группе и факторгруппе. Теоремы об изоморфизме групп. Прямое произведение групп. (Эквивалентные определения.) Внешнее прямое произведение групп. Примеры. Факторизация прямого произведения групп по прямому произведению нормальных подгрупп. Китайская теорема об остатках.

4) 16.09.2026. Подгруппа, порождённая множеством. Порождающие для групп S_n и A_n. Свободная группа: определение через универсальное свойство и доказательство единственности; комбинаторное определение. Приведённые слова. Ассоциативность в комбинаторном определении свободной группы. Эквивалентность двух определений свободной группы. Соотношения между порождающими. Нормальное замыкание подмножества группы. Определяющие соотношения. Задание группы диэдра порождающими и определяющими соотношениями.

5) 21.09.2026. Конечно определённые группы. Инвариантность ранга свободной группы (для конечного ранга). Полупрямое произведение групп. Примеры.

Упражнение. Показать, что внешнее полупрямое произведение является группой.

Упражнение. Показать, что внутреннее полупрямое произведение изоморфно соответствующему внешнему полупрямому произведению.

Базис абелевой группы. Свободная абелева группа, её универсальное свойство (упражнение: доказать единственность) и явное описание.

6) 28.09.2026. Теорема о согласованных базисах. Теорема о классификации конечно порождённых абелевых групп. Действие группы (два эквивалентных определения). Примеры: $S_n$, $GL_n$, $D_n$.

7) 30.09.2026. Орбиты, стабилизаторы. Биекция между орбитой и множеством левых смежных классов по стабилизатору. Разные орбиты не пересекаются. Сопряжённость стабилизаторов элементов одной орбиты. Действие группы на себе левыми и правыми сдвигами, действие группы на себе сопряжениями. Централизатор элемента. Нормализатор подгруппы. Теорема Кэли. Нетривиальность центра конечной $p$-группы. Группа порядка $p^2$ абелева. Существование нормальной подгруппы конечного индекса, содержащейся в подгруппе конечного индекса. Силовские $p$-подгруппы. Теоремы Силова (сформулировали).

8) 05.10.2026. Доказали теоремы А и Б. Группа порядка 15 циклическая. Кручение в абелевой группе. Период группы. В любой периодической абелевой группе существует элемент, порядок которого равен периоду. Критерий цикличности конечной абелевой группы в терминах периода. Конечная подгруппа мультипликативной группы поля циклическая. Коммутант.

(Продолжение следует.)

Примечание. Упражнения со знаком * являются необязательными (хотя они могут быть и очень простыми). Прочие упражнения являются обязательными и входят в программу экзамена.

Лекции по алгебре, 3 семестр (в процессе написания)

Литература.

1. Кострикин А.И. Введение в алгебру.

2. Винберг Э.Б. Курс алгебры.

3. Ван дер Варден Б.Л. Алгебра. (Очень хорошая и интересная книга, можно просто взять и читать, не отрываясь, но терминология достаточно архаичная: например, факторкольцо называется кольцом классов вычетов.)

4. Ленг С. Алгебра. (Достаточно сложная книга для первого ознакомления. Автор вовсю использует язык стрелок и коммутативных диаграмм.)