Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- лекции_2_курс_1_поток_осень_2026 [31.08.2026 17:10]
gordienko
+++ лекции_2_курс_1_поток_осень_2026 [15.10.2026 07:14] (текущий)
gordienko
@@ Строка 1: / Строка 1: @@
-**<color #ed1c24>ВНИМАНИЕ!</color>** Объявляется специальный курс "**[[:s_k_hopf_algebras_2026_2027|Алгебры Хопфа]]**", **понедельник**, **18:30-20:05**, ауд. **1408** (главное здание МГУ), с **7 сентября 2026 года**
+/* **<color #ed1c24>ВНИМАНИЕ!</color>** Объявляется специальный курс "**[[:s_k_hopf_algebras_2026_2027|Алгебры Хопфа]]**", **понедельник**, **18:30-20:05**, ауд. **1408** (главное здание МГУ), с **7 сентября 2026 года**
+*/
 ==== Алгебра, 3 семестр, лекции, мехмат МГУ, 201-207 группы, осенний семестр 2026/2027 ====
 **Лектор [[:staff:gordienko|Гордиенко Алексей Сергеевич]]**
+**[[https://disk.yandex.ru/i/Yqqxi0RkyF4Y0Q|Программа коллоквиума]]**
+) **02.09.2026.** Магмы (=множества с бинарной операцией), полугруппы, моноиды, группы.
+__Упражнение.__ Показать единственность единицы в моноиде.
+__Упражнение.__ Показать единственность обратного к элементу моноида, если обратный существует.
+__Упражнение*:__ показать, что в определении группы достаточно требовать только существования левой единицы и левого обратного. Всё равно левый обратный окажется и правым, а левая единица - в том числе и правой, т.е. полученная алгебраическая структура будет группой.
+__Упражнение*:__ привести пример полугруппы с левой единицей и правыми обратными, которая не является группой.
+Подгруппы. Примеры групп: симметрическая, знакопеременная, четверная группа Клейна $V_4$, группа диэдра $D_n$.
+Алгебра кватернионов $\mathbb H$ и группа кватернионов $Q_8$, их ассоциативность (двумя способами).
+Гомоморфизм групп. Ядро и образ гомоморфизма.
+ Левые и правые смежные классы.
+Индекс подгруппы. Вспомнили теорему Лагранжа о конечных группах.
+) **07.09.2026.** Нормальная подгруппа. Сопряжённые элементы. Формула для сопряжения в группе подстановок. Пример подгруппы, нормальной в некоторой нормальной подгруппе, но не нормальной во всей группе. Доказательство того, что ядро - нормальная подгруппа. Абелевы группы.  Факторгруппа. Теорема о гомоморфизме групп (два варианта). Внешние и внутренние автоморфизмы. Описание группы внутренних автоморфизмов. Центр группы.
+) **14.09.2026.**
+Факторгруппа по центру неабелевой группы не может быть циклической. Соответствие между подгруппами (в т.ч. нормальными) в группе и факторгруппе.
+Теоремы об изоморфизме групп. Прямое произведение групп. (Эквивалентные определения.) Внешнее прямое произведение групп. Примеры. Факторизация прямого произведения групп по прямому произведению нормальных подгрупп. Китайская теорема об остатках.
+) **16.09.2026.** Подгруппа, порождённая множеством. Порождающие для групп S_n и A_n. Свободная группа: определение через универсальное свойство и доказательство единственности; комбинаторное определение. Приведённые слова.
+Ассоциативность в комбинаторном определении свободной группы. Эквивалентность двух определений свободной группы. Соотношения между порождающими. Нормальное замыкание подмножества группы. Определяющие соотношения.  Задание группы диэдра порождающими и определяющими соотношениями.
+) **21.09.2026.** Конечно определённые группы. Инвариантность ранга свободной группы (для конечного ранга). Полупрямое произведение групп. Примеры.
+__Упражнение.__ Показать, что внешнее полупрямое произведение является группой.
+__Упражнение.__ Показать, что внутреннее полупрямое произведение изоморфно соответствующему внешнему полупрямому произведению.
+Базис абелевой группы. Свободная абелева группа, её универсальное свойство (__упражнение:__ доказать единственность) и явное описание.
+) **28.09.2026.**
+Теорема о согласованных базисах. Теорема о классификации конечно порождённых абелевых групп.
+Действие группы (два эквивалентных определения). Примеры: $S_n$, $GL_n$, $D_n$.
+) **30.09.2026.**  Орбиты, стабилизаторы. Биекция между орбитой и множеством левых смежных классов по стабилизатору. Разные орбиты не пересекаются. Сопряжённость стабилизаторов элементов одной орбиты. Действие группы на себе левыми и правыми сдвигами, действие группы на себе сопряжениями. Централизатор элемента. Нормализатор подгруппы. Теорема Кэли. Нетривиальность центра конечной $p$-группы. Группа порядка $p^2$ абелева. Существование нормальной подгруппы конечного индекса, содержащейся в подгруппе конечного индекса. Силовские $p$-подгруппы. Теоремы Силова (сформулировали).
+) **05.10.2026.** Доказали теоремы А и Б. Группа порядка 15 циклическая.
+Кручение в абелевой группе. Период группы. В любой периодической абелевой группе существует элемент, порядок которого равен периоду. Критерий цикличности конечной абелевой группы в терминах периода. Конечная подгруппа мультипликативной группы поля циклическая.
+Коммутант.
+) **12.10.2026.**   Ряд из коммутантов. Разрешимая группа. Простейшие свойства. Критерий разрешимости группы в терминах нормальной подгруппы и факторгруппы по ней.
+Субнормальный ряд в группе.
+Критерий разрешимости группы в терминах субнормальных рядов.
+ Группа порядка $p^k$ разрешима. Лемма Цассенхауза о бабочке. Теорема Шрейера.
+) **14.10.2026.** Факторгруппа свободной группы по коммутанту является свободной абелевой группой. Композиционный ряд. Теорема Жордана - Гёльдера. Группы с операторами. Классы сопряжённости в группах $S_n$ и $A_n$.
+__Упражнение__. Показать, что если нормальная подгруппа в $A_n$ содержит тройной цикл, то она совпадает с $A_n$. (Для $n \geqslant 5$ доказали на лекции, вам нужно проверить для остальных n.)
+(Продолжение следует.)
+__Примечание.__ Упражнения со знаком * являются необязательными (хотя они могут быть и очень простыми). Прочие упражнения являются обязательными и входят в программу экзамена.
 **[[https://disk.yandex.ru/i/0FBSPIcPMe3_dw|Лекции по алгебре, 3 семестр (в процессе написания)]]**