Кафедра высшей алгебры

!-я лекция 3 сентября.

Отношения эквивалентности, согласованные с операцией на множестве. Операция на фактормножестве, гомоморфизм факторизации.

Отношение сравнимости по модулю нормальной подгруппы в группе, факторгруппа. Теорема о гомоморфизме групп.

2-я лекция 10 сентября.

Пересечение и произведение подгрупп в группе. Количество элементов в произведении конечных подгрупп. Произведение подгрупп, одна из которых нормальна. Перестановочность элементов нормальных подгрупп, пересекающихся только по единице.

Разложение группы в прямое произведение своих подгрупп. Случай двух множителей. Внешнее прямое произведение групп, его связь с внутренним. Пример: китайская теорема об остатках.

Разложение группы в полупрямое произведение (двух) подгрупп.

3-я лекция 14 сентября.

Конечно порожденные абелевы группы. Линейно независимые системы элементов и базисы. Свободные абелевы группы (с.а.г.). Равномощность базисов с.а.г. Описание всех базисов. Теорема о том, что всякая подгруппа с.а.г. ранга n является с.а.г. ранга ≤ n.

Решетки в вещественном векторном пространстве V, их характеризация как дискретных подгрупп, порождающих пространство V.

4-я лекция 17 сентября.

Кристаллографические группы и группы симметрии кристаллов. Конечность группы симметрии кристалла и возможные порядки ее элементов.

Существование базиса свободной абелевой группы, согласованного с заданной подгруппой. Разложение конечно порожденной абелевой группы в прямую сумму циклических подгрупп.

5-я лекция 21 сентября.

Разложение конечно порожденной абелевой группы в прямую сумму примарных и бесконечных циклических подгрупп, единственность набора их порядков.

6-я лекция 24 сентября.

Группы преобразований и действия групп. Ядро неэффективности действия. Орбиты и стабилизаторы. Биекция между орбитой и множествои смежных классов по стабилизатору. Вычисление длины орбиты конечной группы.

Действие группы на себе левыми (правыми) сдвигами. Смежные классы как орбиты подгруппы.

Действие группы на себе сопряжениями (внутренними автоморфизмами). Классы сопряженных элементов и централизаторы элементов. Классы сопряженных элементов в симметрической группе.

7-я лекция 1 октября.

Классы сопряженных элементов в группе собственных движений евклидовой плоскости.

Действие группы на множестве своих подгрупп сопряжениями. Нормализатор подгруппы.

Подгруппа, порожденная подмножеством. Системы порождающих в группе. Теоремы о том, что симметрическая группа порождается транспозициями и группа невырожденных матриц порождается элементарными матрицами.

Центр группы. Группа внутренних автоморфизмов как факторгруппа группы по ее центру. Центры симметрической группы и группы невырожденных матриц.

8-я лекция 8 октября.

Коммутатор элементов группы и коммутант группы. Характеризация коммутанта как наименьшей нормальной подгруппы, факторгруппа по которой абелева.

Вычисление коммутантов групп S_n, A_n, GL_n(K), SL_n(K) (|K|>3).

Кратные коммутанты и разрешимые группы. Разрешимость подгруппы и факторгруппы. Обратно, если нормальная подгруппа и факторгруппа по ней разрешимы, то и сама группа разрешима.

Выяснение того, при каких n группа S_n разрешима.

9-я лекция 15 октября.

Теоремы Силова.

10-я лекция 22 октября.

Группа автоморфизмов циклической группы. Группы порядка pq.

Линейные и матричные представления групп, связь между ними.

Изоморфизмы представлений. Сумма представлений.

11-я лекция 26 октября.

Инвариантные подпространства. Ограничение представления на инвариантное подпространство. Сумма и пересечение инвариантных подпространств.

Неприводимые и вполне приводимые представления. Полная приводимость всякого подпредставления вполне приводимого представления. Вполне приводимые представления как суммы неприводимых. Полная приводимость представлений конечной группы над полем нулевой характеристики.

12-я лекция 29 октября.

Мономиальное представление группы S_n.

Гомоморфизмы представлений. Ядро и образ гомоморфизма, гомоморфизмы неприводимых представлений. Лемма Шура. Неприводимые представления абелевых групп над алгебраически замкнутым полем.

Пространство гомоморфизмов Hom(R,S), в частности, Hom(R,R)=End(R). Формула для его размерности (в случае алгебраически замкнутого поля). Следствие: кратности вхождения неприводимых представлений в данное представление не зависят от выбора разложения.

13-я лекция 5 ноября.

Представления с простым спектром, их минимальные инвариантные подпространства и эндоморфизмы (в случае алгебраически замкнутого поля).

Представление группы G в пространстве функций на множестве, на котором действует группа G. Частный случай - (левое) регулярное представление.

Кратности вхождения неприводимых комплексных представлений конечной группы в регулярное представление. Следствие: сумма квадратов неприводимых комплексных представлений равна порядку группы.

Примеры: неприводимые комплексные представления конечных абелевых групп, групп S_3 и S_4.

14-я лекция 9 ноября.

Кратности вхождений неприводимых комплексных представлений конечной группы в ее представление в пространстве функций на множестве смежных классов по подгруппе.

Матричные элементы линейных представлений групп. Теорема о том, что матричные элементы неприводимых комплексных представлений конечной группы образуют базис пространства функций на группе.

15-я лекция 19 ноября.

Центральные функции на группе, в частности, характеры линейных представлений. Теорема о том, что характеры неприводимых комплексных представлений конечной группы образуют базис пространства центральных функций. Число неприводимых комплексных представлений конечной группы.

Одномерные представления групп.

Дважды транзитивные действия. Теорема о том, что для дважды транзитивного действия конечной группы G на множестве X представление группы G в пространстве комплексных функций на X с нулевой суммой значений неприводимо. (Без доказательства.)

16-я лекция 23 ноября.

Идеалы и факторкольца. Теорема о гомоморфизме колец.

Идеалы и факторкольца евклидовых колец.

17-я лекция 26 ноября.

Прямая сумма колец. «Китайская теорема об остатках» для евклидовых колец. Вывод формулы для функции Эйлера.

Присоединение к полю корня неприводимого многочлена. Алгебраические элементы в расширении поля. Минимальный многочлен алгебраического элемента. Подполе, порожденное алгебраическим элементом.

18-я лекция 3 декабря.

Конечные расширения полей. Теорема о башне конечных расширений. Следствие: алгебраические элементы в заданном расширении поля образуют подполе.

Поле разложения многочлена, его существование и единственность. Группа Галуа многочлена над полем нулевой характеристики. Группа Галуа кубического многочлена.

19-я лекция 7 декабря.

Цикличность мультипликативной группы конечного поля. Автоморфизм Фробениуса, его порядок. Существование и единственность конечного поля из p^n элементов. Поле разложения и группа Галуа неприводимого многочлена над полем Z_p.

Кольцо целых алгебраических чисел.

20-я лекция 10 декабря.

Квадратичные поля. Сопряжение и норма в квадратичном поле. Целые элементы квадратичного поля. Достаточное условие евклидовости кольца целых элементов квадратичного поля.

Кольцо Z[i] целых гауссовых чисел, его простые элементы. Представление простых чисел в виде суммы двух квадратов.

21-я лекция 17 декабря.

Поле отношений целостного кольца.

Факториальные кольца. Факториальность кольца многочленов над факториальным кольцом, в частности, кольца многочлеов от нескольких переменных над полем.