• Показать страницу
  • История страницы
  • Ссылки сюда

    • Различия

    Показаны различия между двумя версиями страницы.

    Ссылка на это сравнение

    Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия
    Следующая версия     		Предыдущая версия
    лекции_2_курс_2_поток_осень_2016 [29.10.2016 19:24]
    vinberg     		лекции_2_курс_2_поток_осень_2016 [08.04.2025 16:43] (текущий)
    Строка 18: Строка 18:
     3-я лекция 14 сентября. 3-я лекция 14 сентября.
      
    -Конечно порожденные абелевы группы. Линейно независимые системы элементов и базисы. Свободные абелевы группы (с.а.г.). Равномощность базисов с.а.г. Описание всех базисов. Теорема о том, что всякая подгруппа с.а.г. ранга n является с.а.г. ранга <= n.+Конечно порожденные абелевы группы. Линейно независимые системы элементов и базисы. Свободные абелевы группы (с.а.г.). Равномощность базисов с.а.г. Описание всех базисов. Теорема о том, что всякая подгруппа с.а.г. ранга n является с.а.г. ранга ≤ n.
      
     Решетки в вещественном векторном пространстве V, их характеризация как дискретных подгрупп, порождающих пространство V. Решетки в вещественном векторном пространстве V, их характеризация как дискретных подгрупп, порождающих пространство V.
    Строка 35: Строка 35:
     6-я лекция 24 сентября. 6-я лекция 24 сентября.
      
    -Группы преобразований и действия групп. Ядро неэффективности действия. Орбиты и стабилизаторы. Биекция между орбитой и множествои сиежных классов по стабилизатору. Вычисление длины орбиты конечной группы.+Группы преобразований и действия групп. Ядро неэффективности действия. Орбиты и стабилизаторы. Биекция между орбитой и множествои смежных классов по стабилизатору. Вычисление длины орбиты конечной группы.
      
     Действие группы на себе левыми (правыми) сдвигами. Смежные  классы как орбиты подгруппы. Действие группы на себе левыми (правыми) сдвигами. Смежные  классы как орбиты подгруппы.
    Строка 56: Строка 56:
     Коммутатор элементов группы и коммутант группы. Характеризация коммутанта как наименьшей нормальной подгруппы, факторгруппа по которой абелева. Коммутатор элементов группы и коммутант группы. Характеризация коммутанта как наименьшей нормальной подгруппы, факторгруппа по которой абелева.
      
    -Вычисление коммутантов групп S_n, A_n, GL_n(K), SL)n(K) (|K|>3).+Вычисление коммутантов групп S_n, A_n, GL_n(K), SL_n(K) (|K|>3).
      
     Кратные коммутанты и разрешимые группы. Разрешимость подгруппы и факторгруппы. Обратно, если нормальная подгруппа и факторгруппа по ней разрешимы, то и сама группа разрешима. Кратные коммутанты и разрешимые группы. Разрешимость подгруппы и факторгруппы. Обратно, если нормальная подгруппа и факторгруппа по ней разрешимы, то и сама группа разрешима.
    Строка 78: Строка 78:
     Инвариантные подпространства. Ограничение представления на инвариантное подпространство. Сумма и пересечение инвариантных подпространств. Инвариантные подпространства. Ограничение представления на инвариантное подпространство. Сумма и пересечение инвариантных подпространств.
      
    -Неприводимце и вполне приводимые представления. Полная приводимость всякого подпредставления вполне приводимого представления. Вполне приводимые представления как суммы неприводимых. Полная приводимость представлений конечной группы над полем нулевой характеристики.+Неприводимые и вполне приводимые представления. Полная приводимость всякого подпредставления вполне приводимого представления. Вполне приводимые представления как суммы неприводимых. Полная приводимость представлений конечной группы над полем нулевой характеристики.
      
     12-я лекция 29 октября. 12-я лекция 29 октября.
      
    -Мономиальное представление группы группы S_n.+Мономиальное представление группы S_n.
      
     Гомоморфизмы представлений. Ядро и образ гомоморфизма, гомоморфизмы неприводимых представлений. Лемма Шура. Неприводимые представления абелевых групп над алгебраически замкнутым полем. Гомоморфизмы представлений. Ядро и образ гомоморфизма, гомоморфизмы неприводимых представлений. Лемма Шура. Неприводимые представления абелевых групп над алгебраически замкнутым полем.
    Строка 88: Строка 88:
     Пространство гомоморфизмов Hom(R,S), в частности, Hom(R,R)=End(R). Формула для его размерности (в случае алгебраически замкнутого поля). Следствие: кратности вхождения неприводимых представлений в данное представление не зависят от выбора разложения. Пространство гомоморфизмов Hom(R,S), в частности, Hom(R,R)=End(R). Формула для его размерности (в случае алгебраически замкнутого поля). Следствие: кратности вхождения неприводимых представлений в данное представление не зависят от выбора разложения.
      
     +13-я лекция 5 ноября.
      
     +Представления с простым спектром, их минимальные инвариантные подпространства и эндоморфизмы (в случае алгебраически замкнутого поля).
     +
     +Представление группы G в пространстве функций на множестве, на котором действует группа G. Частный случай - (левое) регулярное представление.
     + 
     +Кратности вхождения неприводимых комплексных представлений конечной группы в регулярное представление. Следствие: сумма квадратов неприводимых комплексных представлений равна порядку группы.
     +
     +Примеры: неприводимые комплексные представления конечных абелевых групп, групп S_3 и S_4.
     +
     +14-я лекция 9 ноября.
     +
     +Кратности вхождений неприводимых комплексных представлений конечной группы в ее представление в пространстве функций на множестве смежных классов по подгруппе.
     +
     +Матричные элементы линейных представлений групп. Теорема о том, что матричные элементы неприводимых комплексных представлений конечной группы образуют базис пространства функций на группе.
     +
     +15-я лекция 19 ноября.
     +
     +Центральные функции на группе, в частности, характеры линейных представлений. Теорема о том, что характеры неприводимых комплексных представлений конечной группы образуют базис пространства центральных функций. Число неприводимых комплексных представлений конечной группы.
     +
     +Одномерные представления групп.
     +
     +Дважды транзитивные действия. Теорема о том, что для дважды транзитивного действия конечной группы G на множестве X представление группы G в пространстве комплексных функций на X с нулевой суммой значений неприводимо. (Без доказательства.)
     +
     +16-я лекция 23 ноября.
     +
     +Идеалы и факторкольца. Теорема о гомоморфизме колец.
     +
     +Идеалы и факторкольца евклидовых колец.
     +
     +17-я лекция 26 ноября.
     +
     +Прямая сумма колец. "Китайская теорема об остатках" для евклидовых колец. Вывод формулы для функции Эйлера.
     +
     +Присоединение к полю корня неприводимого многочлена. Алгебраические элементы в расширении поля. Минимальный многочлен алгебраического элемента. Подполе, порожденное алгебраическим элементом.
     +
     +18-я лекция 3 декабря.
     +
     +Конечные расширения полей. Теорема о башне конечных расширений. Следствие: алгебраические элементы в заданном расширении поля образуют подполе. 
     +
     +Поле разложения многочлена, его существование и единственность. Группа Галуа многочлена над полем нулевой характеристики. Группа Галуа кубического многочлена.
     +
     +19-я лекция 7 декабря.
     +
     +Цикличность мультипликативной группы конечного поля. Автоморфизм Фробениуса, его порядок. Существование и единственность конечного поля из p^n элементов. Поле разложения и группа Галуа неприводимого многочлена над полем Z_p.
     +
     +Кольцо целых алгебраических чисел.
     +
     +20-я лекция 10 декабря.
     +
     +Квадратичные поля. Сопряжение и норма в квадратичном поле.
     +Целые элементы квадратичного поля. Достаточное условие евклидовости кольца целых элементов квадратичного поля.
     +
     +Кольцо Z[i] целых гауссовых чисел, его простые элементы.
     +Представление простых чисел в виде суммы двух квадратов. 
     +
     +21-я лекция 17 декабря.
     +
     +Поле отношений целостного кольца.
     +
     +Факториальные кольца. Факториальность кольца многочленов над факториальным кольцом, в частности, кольца многочлеов от нескольких переменных над полем.
      
    лекции_2_курс_2_поток_осень_2016.1477758274.txt.gz · Последнее изменение: 08.04.2025 16:42 (внешнее изменение)

  • Показать страницу
  • История страницы
  • Ссылки сюда
  • Недавние изменения