Лекция 15 (07/11) Прямая сумма представлений, вполне приводимые представления, примеры отсутствия полной приводимости, теорема Машке. Инвариантные скалярные произведения над R и C.

Лекция 14 (06/11) Представление группы, эквивалентность представлений, матричный язык, след и определитель, инвариантное подпространство, подпредставление, неприводимое представление. Примеры: представления групп Z и Z_n, регулярное представление конечной группы, мономиальное представление симметрической группы, подпредставление в гиперплоскости с нулевой суммой координат (называю его каноническим), неприводимость канонического представления при условиях на характеристику поля.

вопросы к коллоквиуму

Лекция 13 (28/10) Факторгруппа G/Z(G) не может быть циклической. Коммутативность групп порядка p^2. Cиловские подгруппы, три теоремы Силова. Группа порядка pq разрешима ступени не выше двух. Группа порядка 15 является циклической.

Лекция 12 (24/10) Примеры действий. Три действия группы на себе. Теорема Кэли. Сопряженность стабилизаторов точек одной орбиты. Изоморфизм действий. Транзитивное действие изоморфно действию на множестве левых смежных классов. Длина орбиты конечной группы и формула Бернсайда. Нетривиальность центра и разрешимость p-групп.

Лекция 11 (21/10) Абелевы простые группы. Простота группы A_n (n\ge 5). История классификации конечных простых групп. Действие группы на множестве. Орбиты и стабилизаторы. Транзитивные, свободные и эффективные действия. Ядро неэффективности.

Лекция 10 (14/10) Кратные коммутанты, их характеристичность и нормальность. Разрешимые группы, основные примеры и свойства. Производный ряд группы. Разрешимость группы верхних треугольных матриц. Простые группы. Существование композиционного ряда у конечной группы. Классификация конечных групп в два этапа: классификация простых групп и классификация расширений.

Лекция 9 (10/10) Группа GL_n(F) порождена элементарными матрицами, а группа SL_n(F) - элементарными матрицами первого типа. Коммутатор элементов, коммутант группы и его основные свойства. Характеристические подгруппы. Коммутанты групп S_n, A_n, D_n, SL_n(F) и GL_n(F).

Лекция 8 (07/10) Экспонента конечной группы. Конечная подгруппа мультипликативной группы поля является циклической. Единственность разложения конечно порожденной абелевой группы. Порождающие элементы группы. Группа A_n порождена тройными циклами и парами независимых транспозиций (n>4). Порождающие группы диэдра.

Лекция 7 (30/09) Теорема о согласованных базисах. Факторгруппы свободных абелевых групп. Инвариантные множители. Универсальное свойство свободной абелевой группы. Разложение конечно порожденной абелевой группы в прямую сумму циклических, единственность разложения конечной абелевой группы в прямую сумму примарных циклических.

Лекция 6 (26/09) Cвободные абелевы группы. Все базисы содержат одно и то же число элементов. Ранг. Матрица перехода. Подгруппа свободной абелевой группы ранга n свободна и ее ранг не превосходит n. Алгоритм приведения целочисленной матрицы к диагональному виду.

Лекция 5 (23/09) Внешние и внутренние прямые произведения. Факторизация по сомножителям. Разложение конечной циклической группы. Абелевы группы: периодическая часть, группы без кручения, конечно порожденные абелевы группы.

Лекция 4 (16/09) Изоморфизм между Inn(G) и G/Z(G). Классы сопряженности, централизатор элемента, формула для числа элементов в классе сопряженности, описание классов сопряженности в симметрической группе, группе GL_n(C), группе диэдра и группе кватернионов.

Лекция 3 (12/09) Факторгруппа, теорема о гомоморфизме, примеры. Группа автоморфизмов Aut(G). Группы автоморфизмов циклических групп. Группа внутренних автоморфизмов. Центр группы.

Лекция 2 (09/09) Подгруппы циклических групп. Криптография с открытым ключом. Задача дискретного логарифмирования и метод повторного возведения в квадрат. Система Диффи-Хеллмана обмена ключами. Криптосистема Эль-Гамаля. Смежные классы, индекс подгруппы, теорема Лагранжа и ee пять следствий. Нормальные подгруппы.

Лекция 1 (02/09) Группы и подгруппы. Гомоморфизмы, изоморфизмы и автоморфизмы. Основные классы групп: числовые (аддитивные и мультипликативные), вычеты, группы подстановок, группы матриц, группы симметрий, группа диэдра, группа кватернионов Q_8. Циклические подгруппы и порядок элемента.