1-я лекция 01.09. Основные понятия теории групп: группа, подгруппа, гомоморфизм, изоморфизм, циклическая группа, порядок элемента, смежные классы по подгруппе (напоминание). Теорема Лагранжа и следствия из нее.
Нормальные подгруппы. Факторгруппа по нормальной подгруппе. Теорема о гомоморфизме.
2-я лекция 08.09. Группы преобразований и действия групп. Ядро неэффективности действия. Примеры: доказательство того, что группа симметрии правильного тетраэдра и группа вращений куба изоморфны группе S_4.
3-я лекция 12.09. Орбиты и стабилизаторы действия. Транзитивные действия. Действие группы на себе и на множестве левых смежных классов по подгруппе левыми сдвигами. Орбитное отображение; полные прообразы точек орбиты при этом отображении.
Зквивариантное биективное отображение множества смежных классов по стабилизатору точки на ее орбиту (аналог теоремы о гомоморфизме). Формула для длины орбиты конечной группы.
Формула Бернсайда для числа орбит конечной группы, действующей на конечном множестве. Пример: вычисление числа раскрасок граней куба в два цвета.
4-я лекция 15.09. Действие группы на себе сопряжениями. Группа внутренних автоморфизмов и центр группы. Вычисление центров групп GL_n(K) и S_n. Классы сопряженных элементов и централизаторы элементов группы.
Нетривиальность центра p-группы. Группы порядка p^2.
5-я лекция 22.09. Группа Aut G и ее нормальная подгруппа Int G. Примеры: группы Aut Z_n, Aut V_4 и Aut S_3.
Разложение группы в прямое произведение подгрупп. Случай двух множителей. Внешнее прямое произведение.
6-я лекция 26.09. Разложение группы в полупрямое произведение двух подгрупп. Внешнее полупрямое произведение. Полупрямые произведения циклических групп простых порядков.
Конечно порожденные абелевы группы. Линейно независимые системы элементов и базисы. Свободные (конечно порожденные) абелевы группы.
7-я лекция 29.09. Теоремы о равномощности базисов. об описании всех базисов и о свободности и ранге подгруппы свободной абелевой группы.
Кристаллографические группы. Теорема о том, что группа симметрии кристалла может содержать повороты (или зеркальные повороты) только на углы 0, pi/3, pi/2, 2pi/3, pi.
8-я лекция 06.10. Приведение целочисленной прямоугольной матрицы к диагональному виду с помощью целочисленных элементарных преобразований строк и столбцов.
Существование базиса свободной абелевой группы, согласованного с заданной подгруппой. Разложение конечно порожденной абелевой группы в прямую сумму циклических подгрупп. Разложение конечной циклической группы в прямую сумму примарных циклических подгрупп.
9-я лекция 10.10. Разложение конечно порожденной абелевой группы в прямую сумму примарных и бесконечных циклических подгрупп. Единственность числа слагаемых и набора их порядков.
Экспонента конечной абелевой группы. Применение к доказательству цикличности мультипликативной группы конечного поля.
Подгруппа, порожденная заданным подмножеством группы.
Коммутатор элементов группы. Коммутант группы, его характеризация как наименьшей нормальной подгруппы, факторгруппа по которой абелева.
Вычисление коммутантов групп S_n и A_n.
10-я лекция 13.10. Вычисление коммутантов групп GL_n(K) и SL_n(K) при |K|>3.
Кратные коммутанты. Разрешимые группы. Разрешимость подгрупп и факторгрупп разрешимой группы. Обратно, если нормальная подгруппа и фактор по ней разрешимы, то и сама группа разрешима.
Группа S_n разрешима тогда и только тогда, когда n<5. Разрешимость группы треугольных матриц.
11-я лекция 20.10. Простые группы. Разрешимые простые группы - это циклические группы простого порядка.
Сравнение классов сопряженности в S_n и A_n. Простота группы A_5.
Классы сопряженности и простота группы SO_3.
Определение силовских подгрупп конечной группы. Силовские подгруппы конечной абелевой группы.
12-я лекция 24.10. Действие группы на множестве своих подгрупп сопряжениями. Нормализатор подгруппы. Число подгрупп конечной группы, сопряженных данной.
Теоремы Силова. Группы порядка pq.
13-я лекция 27.10. Линейные и матричные представления групп, связь между ними. Линейное представление группы, действующей на множестве, в пространстве функций на этом множестве. Гомоморфизмы (морфизмы) и изоморфизмы представлений.
Инвариантные подпространства. Подпредставления и факторпредставления. Неприводимые представления.
Мономиальное представление группы S_n. Неприводимость его подпредставления в пространстве векторов с нулевой суммой координат.
14-я лекция 03.11. Комплексификация вещественных векторных пространств, линейных операторов и представлений. Абсолютная неприводимость нечетномерного неприводимого вещественного представления.
Гомоморфизмы неприводимых представлений. Лемма Шура.
Неприводимые комплексные представления абелевых групп. Явное описание и число неприводимых комплексных представлений конечной абелевой группы.
15-я лекция 07.11. Сумма представлений группы, ее матричная запись. Вполне приводимые представления, их характеризация как сумм неприводимых представлений.
Ортогональные (унитарные) вещественные (комплексные) представления групп, их полная приводимость. Теорема о том, что всякое вещественное (комплексное) представление конечной группы ортогонально (унитарно).
Векторное пространство Hom(R,S) гомоморфизмов представления R в представление S, его размерность в случае, когда R и S - неприводимые комплексные представления.
16-я лекция 10.11. Изотипные компоненты вполне приводимого представления. Кратность вхождения неприводимого представления S во вполне приводимое представление R, ее равенство (в случае поля комплексных чисел) размерности пространства Hom(S,R).
(Правое) регулярное представление T конечной группы G в пространстве F(G) функций на группе. Пространство M(R)<F(G) матричных эдементов представления R. Равенство M(T)=F(G).
Теорема о том, что каждое неприводимое копмлексное представление S конечной группы входит в регулярное с кратностью dim S, причем соответсвующая изотипная компонента регулярного представления совпадает с M(S). Сумма квадратов размерностей неприводимых комплексных представлений конечной группы.
17-я лекция 17.11. Центральные функции на группе и характеры линейных представлений. Теорема о том, что характеры неприводимых комплексных представлений конечной группы составляют базис пространства центральных функций. Число неприводимых комплексных представлений конечной группы.
Одномерные представления групп.
18-я лекция 21.11. Вполне приводимые представления с простым спектром. Описание эндоморфизмов комплексного линейного представления с простым спектром.
Идеалы и факторкольца.
19-я лекция 24.11. Теорема о гомоморфизме колец.
Идеалы и факторкольца евклидовых колец.
Кольцо целых гауссовых чисел, его евклидовость, его обратимые и простые элементы.
20-я лекция 01.12. Представление простых чисел в виде суммы двух квадратов.
Прямая сумма колец. Китайская теорема об остатках для евклидовых колец.
Конечные расширения полей. Присоединение к полю корня неприводимого многочлена.
21-я лекция 05.12. Алгебраические и трансцендентные элементы в расширении L поля K. Строение подкольца K[\alpha], порожденного над K элементом \alpha поля L.
Теорема о башне конечных расширений полей. Теорема о том, что алгебраические элементы в расширении L поля K образуют подполе, алгебраически замкнутое в L.
Поле разложения многочлена, его существование и единственность.
22-я лекция 08.12. Поле разложения кубического многочлена.
Эндоморфизм (автоморфизм) Фробениуса поля характеристики p.
Существование и единственность поля из p^n элементов. Существование неприводимого многочлена любой степени над полем Z_p.
23-я лекция 15.12. Целые алгебраические числа; теорема о том, что они образуют подкольцо в поле комплексных чисел.
Целые числа в квадратичных полях.