Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- лекции_2_курс_2_поток_осень_2018 [23.09.2018 13:54]
vinberg
+++ лекции_2_курс_2_поток_осень_2018 [08.04.2025 16:43] (текущий)
@@ Строка 24: / Строка 24: @@
 Примеры: группы Aut Z_n, Aut V_4 и Aut S_3.
-Разложение группы в прямое произведение подгрупп. Случай двух множителей.
+Разложение группы в прямое произведение подгрупп. Случай двух множителей. Внешнее прямое произведение.
+-я лекция 26.09.
+Разложение группы в полупрямое произведение двух подгрупп. Внешнее полупрямое произведение. Полупрямые произведения циклических групп простых порядков.
+Конечно порожденные абелевы группы. Линейно независимые системы элементов и базисы. Свободные (конечно порожденные) абелевы группы.
+-я лекция 29.09.
+Теоремы о равномощности базисов. об описании всех базисов и о свободности и ранге подгруппы свободной абелевой группы.
+Кристаллографические группы. Теорема о том, что группа симметрии кристалла может содержать повороты (или зеркальные повороты) только на углы
+, pi/3, pi/2, 2pi/3, pi.
+-я лекция 06.10.
+Приведение целочисленной прямоугольной матрицы к диагональному виду с помощью целочисленных элементарных преобразований строк и столбцов.
+Существование базиса свободной абелевой группы, согласованного с заданной подгруппой. Разложение конечно порожденной абелевой группы в прямую сумму циклических подгрупп. Разложение конечной циклической группы в прямую сумму примарных циклических подгрупп.
+-я лекция 10.10.
+Разложение конечно порожденной абелевой группы в прямую сумму примарных и бесконечных циклических подгрупп. Единственность числа слагаемых и набора их порядков.
+Экспонента конечной абелевой группы. Применение к доказательству цикличности мультипликативной группы конечного поля.
+Подгруппа, порожденная заданным подмножеством группы.
+Коммутатор элементов группы. Коммутант группы, его характеризация как наименьшей нормальной подгруппы, факторгруппа по которой абелева.
+Вычисление коммутантов групп S_n и A_n.
+-я лекция 13.10.
+Вычисление коммутантов групп GL_n(K) и SL_n(K) при |K|>3.
+Кратные коммутанты. Разрешимые группы. Разрешимость
+подгрупп и факторгрупп разрешимой группы. Обратно, если нормальная подгруппа и фактор по ней разрешимы, то и сама группа разрешима.
+Группа S_n разрешима тогда и только тогда, когда n<5. Разрешимость группы треугольных матриц.
+-я лекция 20.10.
+Простые группы. Разрешимые простые группы - это циклические группы простого порядка.
+Сравнение классов сопряженности в S_n и A_n. Простота группы A_5.
+Классы сопряженности и простота группы SO_3.
+Определение силовских подгрупп конечной группы. Силовские подгруппы конечной абелевой группы.
+-я лекция 24.10.
+Действие группы на множестве своих подгрупп сопряжениями. Нормализатор подгруппы. Число подгрупп конечной группы, сопряженных данной.
+Теоремы Силова. Группы порядка pq.
+-я лекция 27.10.
+Линейные и матричные представления групп, связь между ними. Линейное представление группы, действующей на множестве, в пространстве функций на этом множестве. Гомоморфизмы (морфизмы) и изоморфизмы представлений.
+Инвариантные подпространства. Подпредставления и факторпредставления. Неприводимые представления.
+Мономиальное представление группы S_n. Неприводимость его подпредставления в пространстве векторов с нулевой суммой координат.
+-я лекция 03.11.
+Комплексификация вещественных векторных пространств, линейных операторов и представлений.
+Абсолютная неприводимость нечетномерного неприводимого вещественного представления.
+Гомоморфизмы неприводимых представлений. Лемма Шура.
+Неприводимые комплексные представления абелевых групп. Явное описание и число неприводимых комплексных представлений конечной абелевой группы.
+-я лекция 07.11.
+Сумма представлений группы, ее матричная запись.
+Вполне приводимые представления, их характеризация как сумм неприводимых представлений.
+Ортогональные (унитарные) вещественные (комплексные) представления групп, их полная приводимость. Теорема о том, что всякое вещественное (комплексное) представление конечной группы ортогонально (унитарно).
+Векторное пространство Hom(R,S) гомоморфизмов представления R в представление S, его размерность в случае, когда R и S - неприводимые комплексные представления.
+-я лекция 10.11.
+Изотипные компоненты вполне приводимого представления. Кратность вхождения неприводимого представления S во вполне приводимое представление R, ее равенство (в случае поля комплексных чисел) размерности пространства Hom(S,R).
+(Правое) регулярное представление T конечной группы G в пространстве F(G) функций на группе. Пространство M(R)<F(G) матричных эдементов представления R. Равенство M(T)=F(G).
+Теорема о том, что каждое неприводимое копмлексное представление S конечной группы входит в регулярное с кратностью dim S, причем соответсвующая изотипная компонента регулярного представления совпадает с M(S). Сумма квадратов размерностей неприводимых комплексных представлений конечной группы.
+-я лекция 17.11.
+Центральные функции на группе и характеры линейных представлений. Теорема о том, что характеры неприводимых комплексных представлений конечной группы составляют базис пространства центральных функций. Число неприводимых комплексных представлений конечной группы.
+Одномерные представления групп.
+-я лекция 21.11.
+Вполне приводимые представления с простым спектром.
+Описание эндоморфизмов комплексного линейного представления с простым спектром.
+Идеалы и факторкольца.
+-я лекция 24.11.
+Теорема о гомоморфизме колец.
+Идеалы и факторкольца евклидовых колец.
+Кольцо целых гауссовых чисел, его евклидовость, его обратимые и простые элементы.
+-я лекция 01.12.
+Представление простых чисел в виде суммы двух квадратов.
+Прямая сумма колец. Китайская теорема об остатках для евклидовых колец.
+Конечные расширения полей. Присоединение к полю корня неприводимого многочлена.
+-я лекция 05.12.
+Алгебраические и трансцендентные элементы в расширении L поля K. Строение подкольца K[\alpha], порожденного над K элементом \alpha поля L.
+Теорема о башне конечных расширений полей. Теорема о том, что алгебраические элементы в расширении L поля K образуют подполе, алгебраически замкнутое в L.
+Поле разложения многочлена, его существование и единственность.
+-я лекция 08.12.
+Поле разложения кубического многочлена.
+Эндоморфизм (автоморфизм) Фробениуса поля характеристики p.
+Существование и единственность поля из p^n элементов.
+Существование неприводимого многочлена любой степени над полем Z_p.
+-я лекция 15.12.
+Целые алгебраические числа; теорема о том, что они образуют подкольцо в поле комплексных чисел.
+Целые числа в квадратичных полях.