• Показать страницу
  • История страницы
  • Ссылки сюда

    • Различия

    Показаны различия между двумя версиями страницы.

    Ссылка на это сравнение

    Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия
    Следующая версия     		Предыдущая версия
    лекции_2_курс_2_поток_осень_2018 [03.10.2018 10:24]
    vinberg     		лекции_2_курс_2_поток_осень_2018 [08.04.2025 16:43] (текущий)
    Строка 1: Строка 1:
    -π1-я лекция 01.09.+1-я лекция 01.09.
     Основные понятия теории групп: группа, подгруппа, Основные понятия теории групп: группа, подгруппа,
     гомоморфизм, изоморфизм, циклическая группа, порядок элемента, смежные классы по подгруппе (напоминание). Теорема Лагранжа и следствия из нее. гомоморфизм, изоморфизм, циклическая группа, порядок элемента, смежные классы по подгруппе (напоминание). Теорема Лагранжа и следствия из нее.
    Строка 36: Строка 36:
     Кристаллографические группы. Теорема о том, что группа симметрии кристалла может содержать повороты (или зеркальные повороты) только на углы  Кристаллографические группы. Теорема о том, что группа симметрии кристалла может содержать повороты (или зеркальные повороты) только на углы 
     0, pi/3, pi/2, 2pi/3, pi. 0, pi/3, pi/2, 2pi/3, pi.
     +
     +8-я лекция 06.10.
     +Приведение целочисленной прямоугольной матрицы к диагональному виду с помощью целочисленных элементарных преобразований строк и столбцов.
     +
     +Существование базиса свободной абелевой группы, согласованного с заданной подгруппой. Разложение конечно порожденной абелевой группы в прямую сумму циклических подгрупп. Разложение конечной циклической группы в прямую сумму примарных циклических подгрупп.
     +
     +9-я лекция 10.10.
     +Разложение конечно порожденной абелевой группы в прямую сумму примарных и бесконечных циклических подгрупп. Единственность числа слагаемых и набора их порядков.
     +
     +Экспонента конечной абелевой группы. Применение к доказательству цикличности мультипликативной группы конечного поля.
     +
     +Подгруппа, порожденная заданным подмножеством группы.
     +
     +Коммутатор элементов группы. Коммутант группы, его характеризация как наименьшей нормальной подгруппы, факторгруппа по которой абелева.
     +
     +Вычисление коммутантов групп S_n и A_n.
     +
     +10-я лекция 13.10.
     +Вычисление коммутантов групп GL_n(K) и SL_n(K) при |K|>3.
     +
     +Кратные коммутанты. Разрешимые группы. Разрешимость
     +подгрупп и факторгрупп разрешимой группы. Обратно, если нормальная подгруппа и фактор по ней разрешимы, то и сама группа разрешима.
     +
     +Группа S_n разрешима тогда и только тогда, когда n<5. Разрешимость группы треугольных матриц.
     +
     +11-я лекция 20.10.
     +Простые группы. Разрешимые простые группы - это циклические группы простого порядка. 
     +
     +Сравнение классов сопряженности в S_n и A_n. Простота группы A_5.
     +
     +Классы сопряженности и простота группы SO_3.
     +
     +Определение силовских подгрупп конечной группы. Силовские подгруппы конечной абелевой группы.
     +
     +12-я лекция 24.10.
     +Действие группы на множестве своих подгрупп сопряжениями. Нормализатор подгруппы. Число подгрупп конечной группы, сопряженных данной.
     +
     +Теоремы Силова. Группы порядка pq.
     +
     +13-я лекция 27.10.
     +Линейные и матричные представления групп, связь между ними. Линейное представление группы, действующей на множестве, в пространстве функций на этом множестве. Гомоморфизмы (морфизмы) и изоморфизмы представлений.
     +
     +Инвариантные подпространства. Подпредставления и факторпредставления. Неприводимые представления.
     +
     +Мономиальное представление группы S_n. Неприводимость его подпредставления в пространстве векторов с нулевой суммой координат.
     +
     +14-я лекция 03.11.
     +Комплексификация вещественных векторных пространств, линейных операторов и представлений.
     +Абсолютная неприводимость нечетномерного неприводимого вещественного представления.
     +
     +Гомоморфизмы неприводимых представлений. Лемма Шура. 
     +
     +Неприводимые комплексные представления абелевых групп. Явное описание и число неприводимых комплексных представлений конечной абелевой группы.
     +
     +15-я лекция 07.11.
     +Сумма представлений группы, ее матричная запись.
     +Вполне приводимые представления, их характеризация как сумм неприводимых представлений.
     +
     +Ортогональные (унитарные) вещественные (комплексные) представления групп, их полная приводимость. Теорема о том, что всякое вещественное (комплексное) представление конечной группы ортогонально (унитарно).
     +
     +Векторное пространство Hom(R,S) гомоморфизмов представления R в представление S, его размерность в случае, когда R и S - неприводимые комплексные представления. 
     +
     +16-я лекция 10.11.
     +Изотипные компоненты вполне приводимого представления. Кратность вхождения неприводимого представления S во вполне приводимое представление R, ее равенство (в случае поля комплексных чисел) размерности пространства Hom(S,R).
     +
     +(Правое) регулярное представление T конечной группы G в пространстве F(G) функций на группе. Пространство M(R)<F(G) матричных эдементов представления R. Равенство M(T)=F(G).
     +
     +Теорема о том, что каждое неприводимое копмлексное представление S конечной группы входит в регулярное с кратностью dim S, причем соответсвующая изотипная компонента регулярного представления совпадает с M(S). Сумма квадратов размерностей неприводимых комплексных представлений конечной группы.
     +
     +17-я лекция 17.11.
     +Центральные функции на группе и характеры линейных представлений. Теорема о том, что характеры неприводимых комплексных представлений конечной группы составляют базис пространства центральных функций. Число неприводимых комплексных представлений конечной группы.
     +
     +Одномерные представления групп.
     +
     +18-я лекция 21.11.
     +Вполне приводимые представления с простым спектром.
     +Описание эндоморфизмов комплексного линейного представления с простым спектром.
     +
     +Идеалы и факторкольца.
     +
     +19-я лекция 24.11.
     +Теорема о гомоморфизме колец. 
     +
     +Идеалы и факторкольца евклидовых колец.
     +
     +Кольцо целых гауссовых чисел, его евклидовость, его обратимые и простые элементы. 
     +
     +20-я лекция 01.12.
     +Представление простых чисел в виде суммы двух квадратов.
     +
     +Прямая сумма колец. Китайская теорема об остатках для евклидовых колец.
     +
     +Конечные расширения полей. Присоединение к полю корня неприводимого многочлена.
     +
     +21-я лекция 05.12.
     +Алгебраические и трансцендентные элементы в расширении L поля K. Строение подкольца K[\alpha], порожденного над K элементом \alpha поля L.
     +
     +Теорема о башне конечных расширений полей. Теорема о том, что алгебраические элементы в расширении L поля K образуют подполе, алгебраически замкнутое в L. 
     +
     +Поле разложения многочлена, его существование и единственность.
     +
     +22-я лекция 08.12.
     +Поле разложения кубического многочлена.
     +
     +Эндоморфизм (автоморфизм) Фробениуса поля характеристики p.
     +
     +Существование и единственность поля из p^n элементов.
     +Существование неприводимого многочлена любой степени над полем Z_p.  
     +
     +23-я лекция 15.12.
     +Целые алгебраические числа; теорема о том, что они образуют подкольцо в поле комплексных чисел. 
     +
     +Целые числа в квадратичных полях.
    лекции_2_курс_2_поток_осень_2018.1538551453.txt.gz · Последнее изменение: 08.04.2025 16:42 (внешнее изменение)

  • Показать страницу
  • История страницы
  • Ссылки сюда
  • Недавние изменения