Это старая версия документа!

1-я лекция 01.09. Основные понятия теории групп: группа, подгруппа, гомоморфизм, изоморфизм, циклическая группа, порядок элемента, смежные классы по подгруппе (напоминание). Теорема Лагранжа и следствия из нее.

Нормальные подгруппы. Факторгруппа по нормальной подгруппе. Теорема о гомоморфизме.

2-я лекция 08.09. Группы преобразований и действия групп. Ядро неэффективности действия. Примеры: доказательство того, что группа симметрии правильного тетраэдра и группа вращений куба изоморфны группе S_4.

3-я лекция 12.09. Орбиты и стабилизаторы действия. Транзитивные действия. Действие группы на себе и на множестве левых смежных классов по подгруппе левыми сдвигами. Орбитное отображение; полные прообразы точек орбиты при этом отображении.

Зквивариантное биективное отображение множества смежных классов по стабилизатору точки на ее орбиту (аналог теоремы о гомоморфизме). Формула для длины орбиты конечной группы.

Формула Бернсайда для числа орбит конечной группы, действующей на конечном множестве. Пример: вычисление числа раскрасок граней куба в два цвета.

4-я лекция 15.09. Действие группы на себе сопряжениями. Группа внутренних автоморфизмов и центр группы. Вычисление центров групп GL_n(K) и S_n. Классы сопряженных элементов и централизаторы элементов группы.

Нетривиальность центра p-группы. Группы порядка p^2.

5-я лекция 22.09. Группа Aut G и ее нормальная подгруппа Int G. Примеры: группы Aut Z_n, Aut V_4 и Aut S_3.

Разложение группы в прямое произведение подгрупп. Случай двух множителей. Внешнее прямое произведение.

6-я лекция 26.09. Разложение группы в полупрямое произведение двух подгрупп. Внешнее полупрямое произведение. Полупрямые произведения циклических групп простых порядков.

Конечно порожденные абелевы группы. Линейно независимые системы элементов и базисы. Свободные (конечно порожденные) абелевы группы.

7-я лекция 29.09. Теоремы о равномощности базисов. об описании всех базисов и о свободности и ранге подгруппы свободной абелевой группы.

Кристаллографические группы. Теорема о том, что группа симметрии кристалла может содержать повороты (или зеркальные повороты) только на углы 0, pi/3, pi/2, 2pi/3, pi.

8-я лекция 06.10. Приведение целочисленной прямоугольной матрицы к диагональному виду с помощью целочисленных элементарных преобразований строк и столбцов.

Существование базиса свободной абелевой группы, согласованного с заданной подгруппой. Разложение конечнопорожденной абелевой группы в прямую сумму циклических подгрупп. Разложение конечной циклической группы в прямую сумму примарных циклических подгрупп.