1) А.И. Кострикин. Введение в алгебру.

• Часть I гл. 4
• Часть III

2) Э.Б. Винберг. Курс алгебры.

1) М.И. Каргополов, Ю.И. Мерзляков. Основы теории групп.

2) А.Ю.Ольшанский. Геометрия определяющих соотношений в группах

Лекция 1 (1 сентября, пн)

Повторение из 1-го семестра: определение группы, подгруппы, изоморфизма групп, примеры.

Циклические подгруппы. Порядок элемента.

Лекция 2 (5 сентября, пт)

Свойства порядка элемента. Система порождающих. Циклические группы.

Смежные классы по подгруппе.

Лекция 3 (12 сентября, пт)

Смежные классы по подгруппе. Теорема Лагранжа. Следствия из теоремы Лагранжа. Нормальные подгруппы. Факторгруппы.

Гомоморфизмы. Теорема о гомоморфизме.

Лекция 4 (15 сентября, пн)

Теорема о гомоморфизме. Примеры. Любая нормальная подгруппа является ядром некоторого гомоморфизма. Естественный гомоморфизм.

Свободная группа.

Лекция 5 (19 сентября, пт)

Универсальное свойство свободной группы. Определяющие соотношения. Теорема Дика.

Лекция 6 (26 сентября, пт)

Прямые произведения групп. Z_m ≅ Z_{m_1} ⊕ … ⊕ Z_{m_s}, если m=m_1·…·m_s, где m_1, …, m_s - попарно взаимно простые числа. Связь между внешним и внутренним прямым произведением. Факторизация прямого произведения групп по прямому произведению подгрупп, в частности, по прямым сомножителям.

Лекция 7 (29 сентября, пн)

Конечно порожденные абелевы группы (в аддитивной записи),(целочисленные) линейные комбинации элементов абелевой группы, линейная зависимость, базисы. Свободные абелевы группы Основная лемма о линейной зависимости для абелевых групп. Во всех базисах свободной абелевой группы одинаковое число элементов. Ранг свободной абелевой группы. Изоморфизм свободных абелевых групп одного ранга. Подгруппы свободных абелевых групп.

Матрицы перехода от базиса к базису. Целочисленные элементарные матрицы. Целочисленные элементарные преобразования строк и столбцов целочисленной матрицы.

Лекция 8 (3 октября, пт)

ПЛАН

Теорема о базисе свободной абелевой группы, согласованном с базисом подгруппы (доказательство основано на лемме о приведении целочисленной матрицы к «диагональному» виду целочисленными элементарными преобразованиями строк и столбцов). Следствия. Универсальное свойство свободной абелевой группы.