Кафедра высшей алгебры

Вы посетили: • лекции_3_курс_фммф_весна_2025


Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

Ссылка на это сравнение

Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия
Следующая версия 		Предыдущая версия
лекции_3_курс_фммф_весна_2025 [03.02.2025 23:35]
timashev 		лекции_3_курс_фммф_весна_2025 [14.04.2025 17:54] (текущий)
timashev
Строка 4: Строка 4:
  
 Лекции читаются **по понедельникам** на **2**-й паре (10:45-12:20) в ауд. **14-14**. Лекции читаются **по понедельникам** на **2**-й паре (10:45-12:20) в ауд. **14-14**.
- 
-<fc #FF0000>**Объявление:**</fc> вместо первых двух семинарских занятий по курсу пройдут две дополнительные лекции по понедельникам **10** и **17** февраля на **1**-й паре (9:00-10:35). 
  
 == Литература: == == Литература: ==
Строка 12: Строка 10:
   - Ф. Уорнер. Основы теории гладких многообразий и групп Ли.   - Ф. Уорнер. Основы теории гладких многообразий и групп Ли.
  
 +----
 +
 +=== 10 февраля 2025 ===
 +
 +== Лекция 1 ==
 +
 +__Группы Ли__ (вещественные и комплексные): определение и простейшие примеры. __Прямое произведение__ групп Ли. __Подгруппы Ли__, их задание уравнениями. Пример: O<sub>n</sub> ⊂ GL<sub>n</sub>. Подгруппа в группе Ли, являющаяся подмногообразием в окрестности единицы, есть подгруппа Ли. Замкнутость подгрупп Ли в объемлющей группе Ли. 
 +
 +== Лекция 2 ==
 +
 +Компоненты связности группы Ли, связная компонента единицы и группа компонент. Пример: компоненты связности группы O<sub>n</sub>(**R**). Связная группа Ли порождается (как абстрактная группа) любой окрестностью единицы.
 +
 +Основные понятия дифференциального исчисления на многообразиях (//напоминание//): __касательные векторы__ и касательные пространства, __дифференциалы__ отображений, __цепное правило__. Дифференцирование умножения и инверсии на группе Ли.
 +
 +----
 +
 +=== 17 февраля 2025 ===
 +
 +== Лекция 3 ==
 +
 +Линеаризация дифференцируемых отображений постоянного ранга. __Векторные поля__. Дифференциальные уравнения (автономные, 1-го порядка) на многообразиях, __фазовые кривые__ и __фазовые потоки__. Действие диффеоморфизмов на дифференциально-геометрические объекты на многообразии (функции, векторные поля, и т.п.). __Производная Ли__ вдоль векторного поля. __Коммутатор__ векторных полей.
 +
 +== Лекция 4 ==
 +
 +__Правоинвариантные__ векторные поля на группе Ли, их фазовые потоки и __однопараметрические подгруппы__. __Экспоненциальное отображение__, его свойства.
 +
 + __Присоединённое представление__ и __касательная алгебра__ группы Ли, примеры: GL<sub>n</sub>, абелевы группы Ли. Дифференциал гомоморфизма групп Ли (в единице) — гомоморфизм касательных алгебр. Касательная алгебра подгруппы Ли есть подалгебра касательной алгебры группы Ли. Касательная алгебра группы Ли есть алгебра Ли.
 +
 +----
 +
 +=== 24 февраля 2025 ===
 +
 +== Лекция 5 ==
 +
 +__Функтор Ли__. Связь гомоморфизма групп Ли с его дифференциалом через экспоненциальное отображение (формула φ • exp = exp • dφ), случай линейного представления (в частности, Ad • exp = exp • ad). Экспонента суммы коммутирующих элементов касательной алгебры Ли равна произведению экспонент слагаемых. 
 +
 +Экспоненциальные координаты на группе Ли в окрестности единицы. Одновременная линеаризация всех подгрупп Ли в экспоненциальных координатах. Связная подгруппа Ли восстанавливается по своей касательной алгебре Ли. Пересечение подгрупп Ли — подгруппа Ли, её касательная алгебра Ли — пересечение касательных алгебр этих подгрупп.
 +
 +Линеаризация гомоморфизмов групп Ли в экспоненциальных координатах. Ядро и образ гомоморфизма групп Ли, их размерности и касательные алгебры Ли, прообраз подгруппы Ли при гомоморфизме, его касательная алгебра Ли (//формулировка теоремы//). Примеры: группа Ли SL<sub>n</sub> и её касательная алгебра Ли, плотная обмотка тора.
 +
 +----
 +
 +=== 3 марта 2025 ===
 +
 +== Лекция 6 ==
 +
 +Ядро и образ гомоморфизма групп Ли, их размерности и касательные алгебры Ли, прообраз подгруппы Ли при гомоморфизме, его касательная алгебра Ли (//доказательство теоремы//). Восстановление гомоморфизма связной группы Ли по его дифференциалу.
 +
 +Связь между линейным представлением группы Ли и его дифференциалом — линейным представлением алгебры Ли: инвариантные подпространства, подпредставления и факторпредставления, приводимость, неприводимость, полная приводимость. Сопряжённое представление, прямая сумма и тензорное произведение линейных представлений групп Ли, их дифференциалы — соответствующие конструкции над линейными представлениями алгебр Ли.
 +
 +----
 +
 +=== 10 марта 2025 ===
 +
 +== Лекция 7 ==
 +
 +Действия групп Ли на многообразиях, орбитные отображения, __поля скоростей__. Касательная алгебра группы Ли изоморфна алгебре Ли правоинвариантных векторных полей. Свойства орбит и стабилизаторов. Стабилизатор вектора в линейном представлении группы Ли, его касательная алгебра Ли.
 +
 +----
 +
 +=== 17 марта 2025 ===
 +
 +== Лекция 8 ==
 +
 +Группа Ли автоморфизмов и алгебра Ли дифференцирований конечномерной алгебры. Представление изотропии. Транзитивные действия групп Ли и однородные многообразия. Орбитное отображение группы Ли на однородное многообразие является локально тривиальным расслоением.
 +
 +----
 +
 +=== 24 марта 2025 ===
 +
 +== Лекция 9 ==
 +
 +Свойства локально тривиальных расслоений: структура многообразия на базе определена однозначно, факторизационное свойство.
 +
 +Однородное многообразие группы Ли однозначно определяется стабилизатором базисной точки. Структура однородного многообразия на множестве левых смежных классов G/H группы Ли G по подгруппе Ли H. Представление изотропии на однородном многообразии, связь с присоединённым представлением. Нормальные подгруппы Ли и идеалы в касательной алгебре Ли. Структура группы Ли на факторгруппе G/H группы Ли G по нормальной подгруппе Ли H, её касательная алгебра Ли. Основная теорема о гомоморфизмах для групп Ли. 
 +
 +----
 +
 +=== 31 марта 2025 ===
 +
 +== Лекция 10 ==
 +
 +Фундаментальная группа, односвязные многообразия, универсальное накрытие (//напоминания//). Универсальная накрываюшая и фундаментальная группа связной группы Ли.
 +
 +----
 +
 +=== 7 апреля 2025 ===
 +
 +== Лекция 11 ==
 +
 +Фундаментальная группа связной группы Ли коммутативна.
 +
 +Общий подход к проблеме классификации связных групп Ли: классификация алгебр Ли, построение соответствующих односвязных групп Ли, описание связных групп Ли как факторгрупп односвязных групп Ли по дискретным центральным подгруппам. Классификация связных коммутативных групп Ли.
 +
 +__Интегрирование__ гомоморфизмов касательных алгебр Ли: существование и единственность гомоморфизма односвязной группы Ли с заданным дифференциалом (//формулировка теоремы//). Единственность односвязной группы Ли с заданной касательной алгеброй Ли.
 +
 +__Годограф скорости__ движения точки по кривой на группе Ли. Существование и единственность кривой с заданным годографом скорости, проходящей через заданную точку в начальный момент времени. Деформация кривой на группе Ли, дифференциальное уравнение деформации.
 +
 +----
 +
 +=== 14 апреля 2025 ===
 +
 +== Лекция 12 ==
 +
 +Интегрирование гомоморфизмов касательных алгебр Ли (//доказательство теоремы//).
 +
 +__Центр__ и __коммутант__ связной группы Ли и её касательной алгебры Ли, связь между ними. Начало доказательства теоремы о коммутанте: включение [G,G] ⊂ H° для любой подгруппы Ли H ⊂ G с касательной алгеброй Lie(H) = [Lie(G), Lie(G)] в связной группе Ли G, построение такой подгруппы Ли H для односвязной группы Ли G.